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Je me propose maintenant : 



1. De donner une nouvelle dmonstration, extrmement simple , de 

 l'quation (i); 



2. De dmontrer directement l'quation (2) ; 



Et 3. De faire connatre une nouvelle proprit commune aux lignes 

 godsiques et aux lignes de courbure d'une surface du second degr, qui 

 se dduit naturellement de ma nouvelle manire de dmontrer l'quation (i), 

 et qui donne lieu quelques corollaires intressants. 



Je m'appuierai sur le thorme suivant qui exprime une belle proprit 

 des surfaces du second degr homofocales. 



n Thorme. tant donnes trois surfaces homofocales (v), (a), (a') 

 {c'est--dire dont les demi-axes majeurs sontv, a> a')' si par une tangente 

 quelconque la premire , on mne le plan tangent cette surface et deux 

 plans tangents aux deux autres surfaces, les inclinaisons de ces deux plans 

 sur le premier auront leurs sinus dans un rapport constant, gal 



v/v' a' 



Ce thorme est susceptible de plusieurs consquences que je n'exami- 

 nerai pas ici; je passe tout de suite l'objet de cette Note (i). 



I, Dmonstration de l'quation fi'sin'j'-f- v'sin'i*' = a'. 



Concevons la tangente T commune aux deux surfaces (p), (a). Soit m son 

 point de contact sur la surface [p); p. etv sont les paramtres des deux lignes 

 de courbure de cette surface, qui se croisent en ce point, c'est--dire les 

 demi-axes majeurs des deux surfaces (p), (v) qui dterminent ces deux lignes 

 de courbure. La normale au point m est tangente la surface (v); les plans 



(i) Ayant donn, dans mon Aperu historique (page SgS , art. 43), une proposition qui 

 forme un cas particulier de ce thorme , le cas o la premire surface devenant infiniment 

 aplatie se rduit un plan , j'ai fait remarquer que cette proposition , et une autre , n'avaient 

 pas toute la gnralit dsirable [Ibid., art. 45); puis, dans une Note la fin de la partie histo- 

 rique de l'ouvrage (p. 556), j'ai annonc tre parvenu la gnralisation de ces deux proposi- 

 tions , et j'ai nonc un thorme duquel cette gnralisation se dduisait sans peine. Depuis , 

 l'une des deux propositions gnralises a t le fondement d'une thorie gomtrique de l'at- 

 traction des ellipsodes , et particulirement d'une dmonstrafion directe du thorme de Ma- 

 claurin. L'autre , qui est celle que je rappelle ici , est susceptible d'une application galement 

 intressante , puisqu'elle conduit naturellement aux proprits des lignes godsiques des sur- 

 faces du second degr. 



