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tangents aux deux surfaces (a) et (fji), mens par cette tangente , font avec le 

 plan tangent la surface (v) deux angles dont le rapport des sinus (d'aprs le 

 thorme prcdent) est gal 



s/v' ft'' 



Or, le second de ces angles est droit ; on a donc , en dsignant le pre- 

 mier par/', 



smi' 



d'o 



\)? sin^ i' + V* ( I sin* i') = a? . 



Le plan tangent la surface (a) passe par la tangente T, V est donc l'angle 

 que cette tangente fait avec la ligne de courbure (v) ; soit /" l'angle qu'elle 

 fait avec la seconde ligne de courbure (/Ji); on aura cos /' = sin/", et l'qua- 

 tion devient 



fjL* sin^ V + v" sin* /" = a? . 



C. Q. F. D. 



Observations. L'quation fx^sin^i' 4-v'sin''j"=: a* exprime la solution 

 de ce problme : Dterminer, en un point d'une surface du second degr 

 (p), la direction des tangentes la surface, qui vont toucher une seconde 

 su/face homofocale. Car cette direction est celle que dterminent les angles 

 i' eti" (lesquels se rduisent un seul, puisqu'ils sont complments l'un de 



l'autre). L'quation donne tang i' = ^ 



" Si maintenant on exprime cet angle i' par le rapport des arcs ds', ds" des 

 deux lignes de courbure (]x), (v), qui sont les projections de l'lment mm' 



ds' 



ds 



de la tangente, comme l'a fait M. Liouville (i), on a tangi' = -T7;; doni 



= -=; OU, en mettant pour ds' et c?/' leurs expressions connues (2), 



y/p' p'.rf[Jt _ \/v'p\dv 



V/fi' a' y/fx' E^ v/fi^ s', ~~ s/-j' a? VV s' 'f^'^ 



(i) Journal de Mathmatiques , t. IX, dcembre 1 844- 



(2) Les expressions de dsf et ds" se peuvent obtenir trs-simplement , et sans calculs , par 

 de seules considrations de Gomtrie que j'indiquerai dans un autre moment. 



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