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1 Cette quation diffrentielle exprime le rapport -p qui dtermine sur la 



surface {p), partir d'un point (|U(.,v), la direction de l'lment qui, prolonp, 

 ira toucher une seconde surface homofocale (a). Et l'intgrale de cette qua- 

 tion reprsentera une courbe dont tous les lments, ou , en d'autres termes , 

 dont toutes les tangentes, iront toucher cette surface (a). Cette courbe sera la 

 ligne godsique : mais les considi-ations prcdentes taient ncessaires pour 

 donner une signification gomtrique l'quation diffrentielle. 



" On arrive donc avec une extrme facilit, et par une marche naturelle, 

 au beau rsultat de M. Jacobi, qui avait pu paratre devoir tre plus parti- 

 culirement du domaine de l'analyse, puisque c'est par cette mthode que 

 divers gomtres ont trait cette question. 



abc 



n. Dmonstration de l'quation PD : 



)/a'a'' 



Concevons les deux cylindres circonscrits aux deux surfaces (a), (a) , qui 

 ont leurs artes parallles la tangente T commune ces deux surfaces. I^es 

 bases de ces cylindres sur un mme plan perpendiculaire leurs artes sont 

 deux coniques, une ellipse et une hyperbole, dcrites des mmes foyers(i). Ces 

 deux courbes se croisent au point M o leur plan rencontre la tangente T. 

 La diffrence des carrs de leurs demi-axes majeurs est gale au carr du 

 demi-diamtre de l'eUipse conjugu celui qui aboutit au point M (2). Or, cette 

 diffrence est gale la diffrence des carrs des demi-axes majeurs des deux 

 surfaces, savoir, (a* a^) (3). On a donc, en appelant OM, le demi-diamtre 

 conjugu OM, OM^ = y/a^ a^. Le produit n.P.OM, exprime l'aire de 

 l'ellipse; et 2;rP.D. sjo^ a} le volume du cylindre qui a pour base l'ellipse , 

 et pour hauteur le diamtre aD de la surface {a). Ce cylindre est circonscrit 

 cette surface; consqueniaient, son volume est constant et gal inahc. 



(i) Aperu historique, page 892 , art. 35. 



(2) Cela rsulte directement de deux propositions dmontres dans mon Jperu historique, 

 pages 36o et 36 1; ou bien encore du thorme gnral dont je me suis ser%a dans ma pre- 

 mire communication. [Comptes rendus, t. XXII, page 65.) 



(3) Cela rsulte de ce thorme gnral : Quand deux surfaces sont homofocales, si on 

 leur mne deux plans tangents parallles entre eux, la diffrence des carrs des distances de 

 ces deux plans au centre commun des deux surfaces sera constante, quelle que soit leur direc- 

 tion commune. [Aperu historique, p. 393.) 



