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 D'o il suit que l'on a 



c. q. F. D. 



in. Proprits des lignes godsiques et des lignes de courbure des surfaces du second 



degr. 



Du thorme nonc au commencement de cette Noie , et sur lequel est 

 fonde la dmonstration de l'quation (j), on conclut la proprit suivante des 

 tangentes communes deux surfaces homofocales : 



iS/j par chaque tangente commune deux surfaces homofocales j on 

 mne un plan faisant avec le plan tangent la premire surface men' 

 par la tangente commune j un ajgle de grandeur constante^ ce plan sera 

 constamment tangent une mme surface liomofocale aux proposes. 



Les tangentes une ligne de courbure d'une surface du second depr 

 sont toutes tangentes une seconde surface homofocale; donc : 



" Si par chaque point d'une ligne de courbure dune surface du se- 

 cond degr, on mne un plan tangent cette courbe , faisant avec la sur- 

 face, en ce point, un angle de grandeur donne et constante, tous ces 

 plans envelopperont une surface du second degr homofocale la pro- 

 pose. 



Il suit de l que : 



>' Si par les tangentes une conique dcrite dans un plan principal d'une 

 surface du second degr, des mmes fojers que la focale comprise dans ce 

 plan, on mne des plans tangents la surface, tons ces plans feront des 

 angles gaux avec le plan principal. 



" Car la conique peut tre considre comme une ligne de courbure de 

 la surface infiniment aplatie que reprsente la focale. 



( i ) Soit A le demi-diamtre parallle la tangente conjugue la tangente T : on a , comme 

 on sait, PD Asin(D, A) := abc. Donc, Asin(D, A) = y'a' a}. 



Si T est une tangente la ligne de courbure dtermine sur [a] par la surface (a), l'angle 

 (D, a) est droit , et l'on a A = ya' c. Pareillement , soit (a,) la surface qui dtermine , au 

 mme poiut , la seconde ligne de courbure de la surface {a); on aura D = \^a' a.\. On peut 

 crire a.'' = a'' &.'' , a.] = a'' D^ Ces expressions des demi-axes majeurs des deux surfaces 

 homofocales qui passent par un point d'une surface donne , rsultent encore immdiatement 

 des proprits de l'ellipse constante considre dans le thorme gnral sur lequel repose 

 ma premire dmonstration de l'quation pi^sin' j' +v'sin'/" = a'. (Voir Comptes rendus, * 

 t. XXII, p. 65.) Du reste , ces expressions se trouvent dans le Mmoire de M. Joachimsthal. 



