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GOMTRIE. y^wfre dmonstration de l'quation p.*sin*/'+v*sin*/"=a' [*], 

 et proprits qui en drivent; par M. Chasles. 



" Cette nouvelle dmonstration repose sur une proprit des surfaces 

 liomofocales , dont voici l'nonc : 



Thorme. Etant donne une surface du second degr (a), si par un 

 point de l'espace on mne une droite faisant, avec les normales aux trois 

 surfaces homojocales (p), (p.) et (v) qui passent par ce point, des angles 

 i, i , i", le segment EE', que la surface (a) intercepte sur cette droite, divis 

 par le carr du demi-diamtre Oe, qui lui est parallle, a pour expression 



'/ __ 2 v/(a' p') (g' p') (g'' v^) / cos't 



EE' 2v/(a' P')(a' pi')fa' v^) . / cos'j . cos';' . cos' i" 



K, , y tant les trois demi-axes principaux de la surface (a) [**]. 



" Ce thorme fournit immdiatement la dmonstration de l'quation 

 propose, et conduit, en outre, une proprit nouvelle des tangentes com- 

 munes deux surfaces homofocales; et cette proprit, qui concerne les seg- 

 ments qu'une troisime surface homofocale dtermine sur ces tangentes, s'ap- 

 plique naturellement aux lignes godsiques et aux lignes de courbure des 

 surfaces du second degr. 



I. Dmonstration de l'qttalicin fi'sin'j' + v'sin'?" = a'. 



Concevons, dans le thorme ci-dessus, que la transversale mene par 

 le point (p, p., y) soit tangente la surface (a), on aura EE' = o, et 



cos^ i cos' / ' cos' i " 



~~i ; + ~ i + ", , = o- 



p' oc pi' or V a' 



Cette quation peut tre considre comme l'quation du cne circonscrit 

 la surface (a), qui aurait son sommet au point (p, [x, v), puisqu'elle dtermine 

 toutes les tangentes cette surface, qu'on peut mener par ce point. 



1) Pour celles de ces tangentes qui sont comprises dans le plan tangent 

 la surface ( p) et qui , ds lors , se trouvent tangentes la fois aux deux sur- 

 faces (a) et ((s), on a / = 90, cost = o, et 



cos'j' cos'/" 



pi' x' v' a.' 



OU , p.- sin^ i' -+- v^ sin* /". 



C. Q. F. D. 



[*] Voir Comptes rendus, t. XXII, p. 63, loj, 3i3. 



[**] Ce thorme se trouve dmontr dans mon Mmoire sur l'attraction des ellipsodes, qui 

 fait partie du tome IX du Recueil des Savants trangers. Voir pages Sg et66i . 



