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la grandeur de ses angles et de ses cts , mais dont la surface est la mme. 

 Pour exprimer ce changement, je dirai que le polygone a tourn d'une cer- 

 taine quantit, mesure par le rapport du secteur que dcrit, le rayon men 

 du point de contact au centre de l'ellipse, l'aire totale de cette courbe. 



Cela pos, voici quelques propositions prliminaires que j'tablis 

 d'abord : 



Concevons deux polygones rguliers elliptiques de n cts, situs 

 comme on voudra dans l'espace , et soient s K , s 2 , s 3 ,...,$ les sommets du 

 premier, t , , 2 , < JV .., t n ceux du second; joignons par des droites s { t, , 

 s 2 t 2 , s 3 s 3 ,..., st les sommets de mme indice: nous aurons ainsi n artes 

 jouissant des proprits suivantes, lorsque les deux polygones tournent simul- 

 tanment de quantits gales. 



Sont constantes les sommes : 



i. Des puissances i m < n de ces artes , et quand elles sont paral- 

 lles entre elles, de leurs puissances m < n; 



a. Des puissances m < n de leurs projections sur une droite fixe ; 



" 3. Des puissances a m < n des aires des triangles de mme sommet, 

 qui ont pour bases ces artes, lorsque les deux polygones sont circonscrits 

 des ellipses semblables ayant leurs axes homologues parallles entre eux; 



4- Des puissances im < w des aires disposes dans les faces de la 

 pyramide qu'on obtient lorsque les deux ellipses sont gales et concident , et 

 que s, tombe sur t 2 , s 2 sur t 3 , s 3 sur t K ,..., s sur t t , les projections de ces 

 aires sur le plan de la base, jaites paralllement la droite qui va du 

 sommet de la pyramide au centre de l'ellipse, tant gales entre elles ; 



5. Des puissances im<.n des perpendiculaires abaisses des sommets 

 s , , s 2 , s 3 , . . . , s sur une droite fixe ; 



6. Des puissances tn < n des projections des aires des triangles consi- 

 drs ci-dessus ( 3) sur un plan fixe ; 



7 . Des puissances m < n des volumes des ttradres qui ont une arte 

 commune, et pour artes opposes s t t t , s 2 1 2 , . . . , s n t , les deux ellipses tant 

 semblables et ayant leurs axes homologues parallles. 



Voici maintenant les noncs relatifs aux polydres rguliers ellipsodaux. 



Sont constantes, pour tous les polydres rguliers de mme espce, 

 circonscrits un ellipsode donn, les sommes : 



i. Des carrs des droites menes d'un point fixe, pris arbitrairement, 

 tous les sommets ; 



2. Des carrs des artes, des carrs des diagonales des faces, des 

 carrs des diagonales intrieures ; 



3. Des projections et des carrs des projections sur une droite fixe , des 



