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mcanique. Note relative la thorie de l'quilibre et du mouvement 

 d'une plaque lastique; par M. G. Kirchhoff. 



C'est l'illustre Lagrauge qui le premier a tabli l'quation aux diff- 

 rences partielles de l'quilibre d'une plaque lastique. Aprs lui, Poisson, 

 en partant de sa thorie gnrale des forces lastiques , a dduit la mme 

 quation et, en mme temps, les conditions relatives aux bords de la plaque 

 l'aide desquelles la solution de cette quation serait cense tre dtermi- 

 ne. Ces conditions sont au nombre de trois. Cependant il est ais de voir 

 qu'il suffit de deux conditions pour que la solution soit entirement dter- 

 mine. Il rsulte de l, qu'en gnral , les suppositions sur lesquelles se fonde 

 la dduction de cette thorie des surfaces lastiques ne sont pas conformes 

 la vrit. J'ai t conduit, par ces considrations, un nouvel examen des 

 conditions du problme, et je crois tre parvenu les exprimer l'aide de 

 deux quations seulement relatives aux bords de la plaque, l'quation gn- 

 rale restant la mme. 



Considrons un solide lastique sur lequel agissent des forces ext- 

 rieures. Admettons que les accroissements des coordonnes rectangulaires 

 d'un point quelconque de ce solide par l'effet de ces forces soient trs-petits. 

 Alors les forces agissant sur une mme molcule du solide seront indpen- 

 dantes des accroissements de ses coordonnes, et, par suite, il existera un 

 potentiel de ces forces qui sera une fonction linaire de ces accroissements. 

 Soit P la somme de ces potentiels pris par rapport tous les points du so- 

 lide; soient, de plus, X, fx, v les dilatations que M. Cauchy dsigne comme 

 principales, K une constante qui dpend de la nature du solide, enfin 6 un 

 nombre qui, d'aprs la thorie de Poisson, serait gal |, mais que les 

 expriences rcentes de M. Wertheim ont montr tre gal i. Alors la 

 condition de l'quilibre sera que 



P -+- Kfffdxdjdz[ { X 2 -h(x 2 -h v 2 ) + (X + fA + v) 3 ] 



soit un minimum. 



Passons maintenant au cas d'une plaque lastique suppose dans son 

 tat naturel faces planes et parallles, et d'une paisseur trs-petite. Ad- 

 mettons, comme une donne de l'exprience, i qu'une droite qui tait pri- 

 mitivement normale aux faces de la plaque, demeure encore, aprs le 

 changement de forme , droite et perpendiculaire aux surfaces courbes qui 

 taient auparavant planes et parallles aux faces; i que tous les lments 



