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calcul intgral. Mmoire sur les diverses espces d'intgrales d'un 

 systme d'quations diffrentielles ; par M. Augustin Cauchy. 



Considrons n-+- 1 variables x, y, z,. . . , t, et supposons que ces va- 

 riables doivent non-seulement vrifier n quations diffrentielles du premier 

 ordre, mais encore prendre simultanment certaines valeurs initiales. En 

 appliquant aux quations diffrentielles donnes l'intgration rectiligne ou 

 curviligne, on pourra passer du systme des valeurs initiales de x, /, 

 z,. .., < un second systme de valeurs nouvelles, trs-voisines des pre- 

 mires, puis de ce second systme un troisime,. ... Si, en continuant 

 de la sorte , on donne aux intgrales obtenues la plus grande extension pos- 

 sible, elles deviendront ce que nous avons appel les intgrales compltes des 

 quations diffrentielles donnes. Ces intgrales compltes varient et se modi- 

 fient, quand on vient changer le systme des valeurs initiales attribues aux 

 diverses variables; mais elles restent les mmes, quel que soit le mode d'in- 

 tgration adopt, et quelle que soit la variable que l'on considre comme in- 

 dpendante. En gnral, elles ne concident qu'entre certaines limites avec- 

 ce que nous avons appel les intgrales relatives l'une des variables consi- 

 dre comme indpendante; et tandis que les intgrales relatives t, par 

 exemple, quand elles sont le produit d'une intgration rectiligne, fournissent, 

 pour une valeur donne de t , une valeur unique de chacune des variables 

 X, r f JB, ,':., les intgrales compltes, au contraire, rsolues par rapport 

 ces dernires variables, en fournissent communment des valeurs multiples. 

 Sous peine d'introduire une trange confusion dans l'analyse infinitsimale , 

 il importe de bien distinguer ces deux espces d'intgrales, ainsi que les in- 

 tgrales relatives diverses variables indpendantes; et c'est pour n'avoir 

 pas fait cette distinction que, dans l'analyse transcendante, les gomtres 

 sont parvenus trs-souvent a des formules qui ne s'accordent point avec 

 celles qu'ils avaient prises pour point de dpart. Les difficults qui en r- 

 sultent deviennent surtout sensibles quand on considre des quations dif- 

 frentielles dans lesquelles les variables sont spares, ce qui permet d'effec- 

 tuer l'intgration l'aide d'intgrales dfinies. C'est particulirement ce qui 

 arrive dans la thorie des fonctions elliptiques et des intgrales abliennes, 

 quand on envisage cette thorie comme une branche du calcul intgral; et, 

 comme l'a trs-judicieusement observ M. Eisenstein dans un Mmoire que 

 renferme le Journal de M. Liouville, on est alors conduit des conclusions 

 qui sont en contradiction manifeste avec les dfinitions que l'on a poses. 



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