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 Ainsi, par exemple, dans la thorie des fonctions elliptiques, on commence 

 par dfinir le sinus de l'amplitude d'une variable t, comme la fonction in- 

 verse dune certaine intgrale dfinie relative x; puis on prouve ensuite 

 que cette fonction inverse x est priodique, et mme doublement prio- 

 dique; et cette proposition contredit la dfinition adopte, puisqu'il est im- 

 possible d'admettre qu'une intgrale dfinie, dont la valeur est unique, offre 

 nanmoins une infinit de valeurs distinctes. Pour viter de se trouver en pr- 

 sence de semblables difficults, M. Eisenstein a propos de fonder, comme 

 je l'ai fait moi-mme en i843, la thorie des fonctions elliptiques sur la 

 considration des produits composs d'un nombre infini de facteurs. La 

 principale diffrence qui existe entre la marche suivie par M. Eisenstein et 

 celle que j'avais trace, consiste en ce qu'il prend pour point de dpart non 

 pas les produits infinis simples, auxquels j'avais donn le nom de factorielles 

 gomtriques, mais les produits infinis doubles, dans lesquels on peut d- 

 composer ces produits infinis simples, l'aide des formules relatives aux 

 fonctions circulaires. 



Au reste, au lieu d'luder les difficults de la question, je les aborde de 

 front dans ce nouveau Mmoire; et je prouve que l'on peut, sans contradic- 

 tion , tablir la thorie des fonctions elliptiques ou mme des transcendantes 

 d'un ordre plus lev sur la considration des intgrales dfinies, ou plus g- 

 nralement des intgrales d'un systme d'quations diffrentielles. Seulement 

 il faut alors abandonner les dfinitions prcdemment admises , et leur sub- 

 stituer des dfinitions nouvelles. Ainsi, par exemple, le sinus de l'amplitude 

 d'une variable t ne sera plus la fonction inverse de l'intgrale dfinie ci- 

 dessus mentionne, et relative x, mais la fonction inverse d'une autre in- 

 tgrale dfinie produite par une intgration curviligne; ou, ce qui revient 

 au mme , ce sinus sera la valeur de x que fournit l'intgrale complte d'une 

 quation diffrentielle de laquelle on tire la premire intgrale dfinie , 

 quand on cherche, non l'intgrale complte, mais l'intgrale relative t, en 

 la dduisant de l'intgration rectiligne. On voit, par cet exemple, combien il 

 importe de comparer entre elles les diverses espces d'intgrales qu'admet 

 une quation diffrentielle, ou un systme de semblables quations, et sur- 

 tout d'indiquer une mthode l'aide de laquelle on puisse dduire les int- 

 grales compltes des intgrales produites par une intgration rectiligne , 

 relative l'une des variables considre comme indpendante. On trouvera , 

 dans mon Mmoire, des thormes gnraux qui, en permettant de rsoudre 

 ce problme dans un grand nombre de cas, me paraissent devoir contribuer 

 notablement aux progrs de l'analyse infinitsimale. 



