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ANALYSE. 



I er . Sur les intgrales limites d'un systme d'quations diffrentielles. 



Soient 



x i Xi ?.* > t-> 



n -+ i variables assujetties, i vrifier n quations diffrentielles du pre- 

 mier ordre, i varier ensemble par degrs insensibles, et prendre simul- 

 tanment certaines valeurs initiales 



En considrant t comme variable indpendante , on pourra prsenter les 

 quations diffrentielles donnes sous la forme 



(i) D t x = X, D t f = Y, D,z = Z,..., 



X, K, Z,. . . tant ou des fonctions explicites des variables x, y, z, . . . , t, 

 ou, du moins, des fonctions implicites dont les valeurs seront celles que 

 fourniront les quations diffrentielles donnes quand on y remplacera 

 D t x par la lettre X, ~D c y par la lettre Y, .... Si ces mmes quations four- 

 nissaient pour X, Y, Z,. . . plusieurs systmes de valeurs distinctes, alors, 

 chacun de ces systmes, correspondrait un systme particulier d'qua- 

 tions diffrentielles reprsentes par les formules (i). 



Concevons maintenant que u dsignant une fonction des seules varia- 

 bles x, y, z , . . . , on pose 



(a) Vu=- ! {XD x u -+ YD T u -+- ZD z u + . . .)dt. 



Si les fonctions X^ Y, Z,. . ., u restent finies et continues par rapport aux 

 variables x , y, z,...,t dans le voisinage des valeurs initiales , /?, ,...,'t;- 

 alors, comme je l'ai prouv dans divers Mmoires, la srie 



(3) u, V, V 2 m,... 



sera convergente, du moins pour un trs-petit module de la diffrence t r ; 

 et , si l'on reprsente par 



la somme de cette srie , on aura identiquement 



(/,) D t -h XYi x %u -t- YD r @u -t- . . . = o. 



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