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 du moins quand le module de la diffrence t t ne dpassera pas une cer- 

 taine limite suprieure. En consquence, on peut noncer la proposition 

 suivante : 



Thorme. Considrons H -t- i variables x, y, z, . . . , t assujetties, i 

 vrifier n quations diffrentielles du premier ordre ; i varier ensemble 

 par degrs insensibles, et prendre simultanment certaines valeurs ini- 

 tiales , Y} , ,. . ., t. Si les fonctions dtermines X, K, Z, ... qui, en vertu 

 de ces quations diffrentielles, reprsentent les drives T) t x, D t y, D f z,... 

 des variables x , y, z , . . . , restent finies et continues par rapport aux 

 variables x, y, z,..., t dans le voisinage des valeurs initiales , j, 

 ,. . ., t; alors, pour un module de la diffrence t t infrieur une cer- 

 taine limite, on pourra satisfaire aux conditions nonces en attribuant 

 x, y, z,. . . un certain systme de valeurs trs-voisines de |, vj, ,. . . ; et 

 ce systme de valeurs, qui sera unique , pourra se dduire des formules (7). 



Ajoutons que l'on arriverait des conclusions toutes semblables si l'on 

 cherchait exprimer non plus x, y, z,. . . en fonction de t, mais t,y, z,.. . 

 en fonction de x, et qu'alors, pour un module de la diffrence x \ inf- 

 rieur une certaine limite, les valeurs de t, y, z,. . . en x, pourraient 

 encore se dduire des formules (7). 



Remarquons, enfin, que les valeurs des diverses variables , exprimes 

 en fonctions de l'une d'entre elles, par exemple les valeurs de x, y, z,. . . 

 exprimes en fonctions de , seront gnralement, en vertu des formules (7), 

 des fonctions continues non-seulement de la variable t, mais encore des va- 

 leurs initiales , yj, ,. . ., t attribues aux diverses variables. 



' II. Sur les intgrales rectilignes et curvilignes d'un systme d'quations diffrentielles . 



tant donnes les quations (1) du I er avec les valeurs initiales |, r t , 

 ,..., t des diverses variables x,y, z,..., t, prenons t pour variable indpen- 

 dante. Considrons d'ailleurs dans cette variable, qui peut acqurir des va- 

 leurs quelconques, relles ou imaginaires, la partie relle et le coefficient de 



V 1 comme propres reprsenter les coordonnes rectangulaires d'un 

 point mobile dans un plan horizontal, et nommons O la position de ce point 

 correspondante la valeur t de t. Si les fonctions X, JT, Z,... restent finies 

 et continues par rapport aux diverses variables quand on attribue celles-ci 

 des valeurs trs-rapproches de leurs valeurs initiales, on pourra, en vertu 

 des quations diffrentielles proposes , ou plutt en vertu de leurs int- 

 grales fournies par l'une des mthodes que nous avons rappeles dans le I er , 



