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 passer des valeurs initiales , kj, ,... des variables dpendantes^,^, z,... 

 des valeurs trs-voisines qui correspondront une nouvelle valeur de t trs- 

 voisine de t, et, par consquent, un nouveau point O' trs-rapproch du 

 point O. On pourra de la mme manire, si les fonctions X, F, Z,... restent 

 finies dans le voisinage du systme des nouvelles valeurs de x, y % z,..., t 

 correspondantes au point O', passer de ce nouveau systme un troisime 

 auquel rpondra un nouveau point O" trs-voisin de O', etc. En continuant 

 ainsi , on obtiendra une srie de points O, O', O",... que l'on pourra supposer 

 situs sur une certaine ligne droite ou courbe OO'O".. . ; et si chacun de ces 

 points correspond toujours des valeurs de x, y, z,..., t dans le voisinage 

 desquelles les fonctions X, Y, Z,... restent finies et continues, cette srie 

 pourra se prolonger indfiniment. Comme d'ailleurs les intgrales trouves 

 feront connatre les valeurs de x, y, z,... correspondantes non-seulement 

 aux points O, O', O ",..., mais encore aux points situs sur la ligne que l'on 

 considre, entre O et O', entre O' et O",.-- , il est clair que les valeurs de x, 

 y, z,..., envisages comme fonctions de t, seront connues par un point quel- 

 conque de cette ligne. Les intgrales ainsi produites par une intgration en 

 ligne droite ou en ligne courbe devront tre naturellement dsignes sous le 

 nom iV intgrales rectilignes ou curvilignes du systme des quations diff- 

 rentielles proposes. Du mode de formation de ces intgrales, il rsulte 

 videmment que les valeurs qu'elles fourniront pour x,y, z,... varieront, 

 en gnral, par degrs insensibles avec la variable indpendante t, et, par 

 consquent, avec la position du point mobile Psur la ligne OO'O". 



Les intgrales obtenues seront rectilignes si les valeurs successive- 

 ment attribues la variable t sont telles que l'argument de la diffrence 

 t t reste invariable; elles seront curvilignes dans le cas contraire. 



Lorsque X, Y, Z,... se rduisent des fonctions del seule variable t, 

 alors, t tant pris pour variable indpendante, les intgrales rectilignes des 

 quations (i) du I er peuvent tre reprsentes par les formules 



(i) x-%= C Xdt, y-r, = I" Ydt,.... 



Il y a plus: les valeurs de x, y, z,... en t, fournies par les intgrales recti- 

 lignes, devront satisfaire, dans tous les cas, ces dernires formules, qui 

 peuvent tre considres comme suffisant dterminer compltement ces va- 

 leurs. 



Si 1 intgration devient curviligne, ou, en d'autres termes, si t varie de 

 manire que la ligne OO'O"..., trace par le point mobile P, soit courbe, alors, 



