( 735 ) 



en nommant .y l'arc de cette courbe mesur partir de la position initiale O 

 du point P, on devra aux formules (i) substituer les suivantes, 



(a) x =f XD s tds, y Y]=fi r D s tc/s,..., 



qui peuvent tre considres comme suffisant dterminer compltement 

 les valeurs de x,y, z,.... 



Si des formules (2)* ou, ce qui revient au mme, des intgrales curvi- 

 lignes, on veut revenir aux intgrales rectilignes reprsentes par les for- 

 mules (1), il suffira de remplacer l'arc s par le module de la diffrence t t, 

 et Dj par l'exponentielle trigonomtrique qui offre pour argument l'argu- 

 ment de cette mme diffrence. 



Jusqu'ici nous avons admis que les fonctions X, Y, Z,... restaient finies 

 et continues par rapport aux variables x, y, z,..., f , dans le voisinage des 

 valeurs correspondantes chacun des points O, O', O",..., ce qui suppose 

 que ces mmes valeurs restent finies. Admettons maintenant la supposition 

 contraire , et concevons qu' un point G de la ligne OO'O"... corresponde 

 une valeur infinie de quelqu'une des variables x, y, z,..., ou bien encore 

 qu'en ce point l'une des fonctions X, Y, Z,,.. devienne discontinue. Pour 

 savoir ce qu'alors on devra nommer les intgrales rectilignes ou curvilignes 

 des quations diffrentielles proposes , il suffira d'tendre ce cas-l mme 

 les formules (1) ou (a), et de considrer encore ces formules comme les 

 quations auxquelles devront satisfaire les valeurs de x,y, z,... fournies par 

 ces intgrales. En vertu de l'extension dont il s'agit, les intgrales recti- 

 lignes ou curvilignes prendront une nature semblable celle des intgrales 

 dfinies dans lesquelles la fonction sous le signe/ devient discontinue. Si la 

 discontinuit consiste en un changement brusque de valeur dans une fonc- 

 tion qui reste finie , les intgrales rectilignes ou curvilignes conserveront des 

 valeurs finies et dtermines. Mais, si l'une des fonctions X, Y, Z,... devient 

 infinie, ces intgrales pourront ou devenir infinies, ou offrir des valeurs 

 indtermines, c'est--dire un nombre infini de valeurs parmi lesquelles on 

 devra distinguer des valeurs principales. Observons d'ailleurs que les int- 

 grales rectilignes ou curvilignes, quand elles deviendront indtermines, re- 

 prsenteront une sorte d'intgrales singulires des quations diffrentielles 

 donnes, et correspondront, si la ligne OO'O"... est droite, certaines di- 

 rections particulires de cette ligne, savoir , aux directions qu'elle prendra 

 quand on la fera passer par un point C auquel rpondra une valeur infinie de 

 quelqu'une des fonctions X, Y, Z Ajoutons que, si cette direction sin- 



