( ?38 ) 



le point mobile qui correspond aux diverses valeurs relles ou imaginaires 

 de t, O la position initiale de ce point, OO'O". . . la courbe qu'il dcrit, 

 et s l'arc de cette courbe mesur partir du point O , les intgrales curvili- 

 gnes des quations donnes pourront tre reprsentes, comme on l'a dit, 

 par les formules (2) du II. Observons maintenant que, dans ces intgrales, 

 l'arc s pourra crotre indfiniment, la courbe OO'O". . . pouvant tre in- 

 dfiniment prolonge, et la forme de cette courbe tant d'ailleurs entire- 

 ment arbitraire. Quelle que soit cette forme, et quel que soit le nombre des 

 circonvolutions la suite desquelles le point mobile P atteindra une position 

 donne, les valeurs de x, y, z,. . . fournies par les intgrales curvilignes, 

 et correspondantes des positions trs-voisines de celles dont il s'agit, va- 

 rieront gnralement avec s et t par degrs insensibles, lorsqu'on fera mou- 

 voir le point P sur la courbe qu'il dcrivait, ou mme lorsqu'on fera va- 

 rier infiniment peu la forme de cette courbe. Il n'y aura d'exception cet 

 gard que dans le cas particulier o le point P, en se mouvant sur la 

 courbe OO'O".. ., finirait par atteindre une position laquelle corres- 

 pondraient des valeurs infinies de lune des variables x, y, z,... ou 

 de l'une des fonctions X, Y, Z,..., par consquent l'une des positions 

 occupes par les points C, G', C",. . . pour lesquels X' x j\ \. '". . ou X, K, 

 Z,. . . deviennent infinies. Or ces derniers points sont ncessairement des 

 points isols. Si l'on faisait passer la courbe OO'O". . . par l'un d'entre eux, 

 les valeurs de x, y, z,..., fournies par les intgrales rectilignes, pourraient 

 devenir indtermines et offrir des valeurs principales qui diffreraient nota- 

 blement des valeurs correspondantes d'autres courbes trs-voisines. Cela 

 pos , concevons que l'on veuille donner aux intgrales curvilignes la plus 

 grande extension possible , mais cependant avec la condition que les valeurs 

 de x, y, z,. . . varient par degrs insensibles avec la position du point P. Il 

 suffira videmment d'admettre que l'on fait prendre successivement la courbe 

 OO'O"... toutes les formes imaginables, mais en vitant de la faire jamais 

 passer par l'un des points isols C, C, C",. . ., dont elle pourra nanmoins 

 s'approcher indfiniment. C'est alors que l'on obtiendra ce que nous appelons 

 les intgrales compltes des quations diffrentielles proposes. Ainsi dfi- 

 nies, les intgrales compltes ne seront point modifies quand on prendra pour 

 variable indpendante, au lieu de l, une quelconque des autres variables x, 

 y, z, ... Ajoutons que les valeurs de x, y, z,. . . en t, fournies par ces 

 intgrales, seront, en gnral , des fonctions multiples de t ; souvent mme, 

 des fonctions qui, pour chaque valeur de /, offriront une infinit de valeurs 

 distinctes, ou bien encore une infinit de valeurs trs-voisines les unes des 



