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ANALYSE. 



Soient toujours 



x , y<, z , . . . , t 



n -f- i variables assujetties : i vrifier n quations diffrentielles du pre- 

 mier ordre; a varier ensemble par degrs insensibles, et prendre simul- 

 tanment certaines valeurs initiales 



En considrant t comme variable indpendante , on pourra prsenter les 

 quations diffrentielles donnes, sous la forme 



(i) Y) t x=X, T> t y = Y, h t z = Z,..., 



X, Y, Z\. . . tant, ou des fonctions explicites des variables x,j', z,...,<, 

 ou du moins des fonctions implicites dont les valeurs seront celles qui four- 

 niront les quations diffrentielles quand on y remplacera D,x par la 

 lettre X , D,y par la lettre JT, . . . Si ces mmes quations fournissaient, pour 

 X, Y, Z,... , plusieurs systmes de valeurs distinctes, alors, chacun de 

 ces systmes correspondrait, comme nous l'avons dit, un systme particu- 

 lier d'quations diffrentielles reprsentes par les formules (i). 



Concevons maintenant que, dans la variable indpendante *, on consi- 

 dre la partie relle et le coefficient de \J i comme propres reprsenter les 

 coordonnes rectangulaires d'un point P qui se meut dans un plan ho- 

 rizontal; et nommons O la position initiale de ce point correspondante la 

 valeur t de t. Supposons encore que l'on joigne le point O au point P : 

 i par une droite OP; i par une courbe OO'O". . .P, dont la longueur, me- 

 sure partir du point O, soit reprsente par la lettre s. Supposons enfin 

 que , dans les quations (i), X, Y, Z , . . . reprsentent des fonctions com- 

 pltement dtermines des variables x, y,z,...,t. Tandis que l'on prolon- 

 gera indfiniment la droite OP, ou la courbe 00'. ..P, les variables x, r, z,... 

 assujetties : i prendre, pour la valeur initiale - de t, les valeurs initiales 

 correspondantes , /j, , . . . ; a varier avec t oa s par degrs insensibles, 

 et vrifier les quations (i) , seront ce que nous avons appel les intgrales 

 rectilignes ou curvilignes de ces mmes quations, et satisferont, dans le 

 premier cas, aux formules 



(2) x-\ C Xdt, y-y= T Yflt, z--T 



Zdt, 



