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 > Soient, d'autre part, r la longueur du rayon vecteur OP, etp l'angle po- 

 laire qu'il dcrit, cet angle tant mesur partir de la direction primitive 

 du rayon, c'est--dire partir de la direction de la tangente mene par le 

 point O la courbe OO'P. On aura 



(6) t-r = reP y/ ~ i ; 



et dans cette dernire formule, l'angle p, d'abord positif, pourra ou crotre 

 indfiniment, si le rayon vecteur r tourne toujours dans le mme sens au- 

 tour du point O, ou bien, aprs avoir cr pendant un certain temps, d- 

 crotre ensuite. Il y a plus: l'angle p pourra subir des accroissements et d- 

 croissements alternatifs, en vertu desquels il acquerra une infinit de valeurs 

 positives ou mme ngatives. Ajoutons qu' ces accroissements ou dcroisse- 

 ments correspondront, pour le rayon vecteur r, des mouvements de rota- 

 tion qui s'effectueront en sens contraires, et en vertu desquels il pourra re- 

 prendre plusieurs fois une direction donne. 



Cela pos, considrons le rayon vecteur OP ou r parvenu dans une po- 

 sition telle, qu'avant de 1 atteindre, il ait toujours tourn dans le mme sens^ 

 en dcrivant un angle infrieur quatre droits. Nommons S l'aire comprise 

 entre la courbe 00'. . .P et la droite OP. Le contour en partie curviligne, 

 en partie rectiligne, qui terminera cette aire, sera un contour ferm; et, si 

 Ton nomme (S) ce que devient l'intgrale 



quand on la suppose tendue tous les points de ce contour, c'est--dire 

 quand on considre la droite PO comme propre reprsenter le prolonge- 

 ment de l'arc s, on aura videmment 



( 7 ) (S) = C xD s tds f &dt. 



Supposons d'ailleurs que les fonctions X, Y, Z,..., restent finies et conti- 

 nues par rapport aux variables x,jr, z,.. .,t dans le voisinage de valeurs 

 lies entre elles par les quations (4) et correspondantes un point quel- 

 conque de la surface S. Alors les fonctions de t , dsignes par X , 9", 2, , . . . , 

 resteront elles-mmes finies et continues dans le voisinage d'une valeur de t 

 correspondante un point quelconque de cette surface; et, en vertu de ce 

 qui a t dit dans la sance du 3 aot dernier, on aura 



(8) (S) = o; 



