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 par suite , la formule (7) donnera 



(9) f XD s tds = f Xdt; 



Jo Jo 



et, comme on obtiendra des rsultats semblables en remplaant X par 3", 

 par 2> , . . . , on trouvera dfinitivement 



(10) j xV t tds = j xdt, j ' $r> s tds = j o $dt, etc., 

 ou, ce qui revient au mme, eu gard aux quations ( r >), 



(11) y (*) = f xD s tds, /(*)-= f 3D s tds, etc. 



Jo Jo 



Or il suit des formules (1 1) que les valeurs de x, y, z,. . ., fournies par les 

 quations (4) , satisfont aux formules (3). Ces valeurs reprsenteront donc 

 non-seulement les intgrales rectilignes, mais encore les intgrales curvi- 

 lignes des quations (1), et mme elles seront les seules que pourra fournir 

 l'intgration curviligne, lorsqu'en partant du point O pour arriver au point 

 P, on suivra la courbe OO'. ..P, puisque, dans tous les points de cette 

 courbe, elles produiront des valeurs finies X, 5", &>,, des fonctions 

 X, K, Z,..., qui, par hypothse, resteront continues dans le voisinage de 

 ces mmes points [voir le thorme de la page y33J. En consquence, on 

 pourra noncer la proposition suivante : 



i er Thorme. Supposons les n -+- 1 variables x, jr,z,. . .,t assujetties : 

 i vrifier les quations (1), dans lesquelles X, F, Z,... dsignent des 

 fonctions dtermines de x, j, z,.. .,1 ; 2 varier ensemble par degrs in- 

 sensibles, et prendre simultanment les valeurs initiales , >j, ^...^.Consi- 

 drons d'ailleurs, dans la variable t, la partie relle et le coefficient de J t 

 comme propres reprsenter les coordonnes rectangulaires d'un point P 

 qui se meut dans un plan horizontal, et nommons O la position initiale de 

 ce point correspondante la valeur t de t. Enfin reprsentons les intgrales 

 rectilignes des quations (1) par les formules (4); joignons le point O au 

 point P, i par la droite OP; 2 par une courbe OO'. . .P; supposons le 

 rayon mobile OP parvenu dans une position telle, qu'avant de l'atteindre, il 

 ait toujours tourn dans le mme sens en dcrivant un angle infrieur 

 quatre droits; et nommons S la surface que terminent, d'une part, ce rayon 

 vecteur, d'autre part, la courbe OO'. ..P. Si les fonctions X, Y, Z,... 



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