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restent finies et continues, par rapport aux variables x, y, z, . . .,t , dans le 

 voisinage de valeurs lies entre elles par les formules (4) et correspondantes 

 un point quelconque de la surface S , les valeurs de x, jr, z,. . . , donnes 

 par ces formules, concideront, pour chaque point de la courbe 00'... P, 

 avec les valeurs de x,y, z,...,que l'on dduirait de l'intgration curviligne , 

 en faisant dcrire cette courbe au point mobile. 



Corollaire. Soit R un point situ sur la courbe 00'. . .P, entre les deux 

 points extrmes O, P, et nommons s, t, les valeurs de s, t correspondantes 

 au point R. La formule (9) donnera 



(ia) f X,D t t dt = f SCdt. 



De plus, si l'on nommes l'aire que terminent, d'une part, les rayons vec- 

 teurs OR, OP, d'autre part, la portion de courbe RP, et si l'on nomme (s) ce 

 que devient l'intgrale 



fX,D t tds 



quand on la suppose tendue tous les points du contour de la surface s, on 

 aura videmment 



(i3) (S) = f 3ndt+ f" &T) s tdsf { &dt, 



et la formule (8) on pourra joindre la suivante : 



(l4) (S) = o; 



or, de cette dernire, jointe la formule (i3), on tirera 



(i5) f x>D s tds= f&dt- Cxdt; 



et il suffira, videmment, de combiner entre elles, par voie d'addition, les 

 formules (12) et (i5), pour retrouver l'quation (9). 



Ce n'est pas tout. La dmonstration que nous venons de donner de la 

 formule (i5) continuera videmment de subsister, si le rayon vecteur r, 

 aprs avoir tourn dans un sens pour atteindre la direction OR , tourne 

 en sens contraire pour atteindre la direction OP; et, comme les formules (i u) 

 et (i5), combines entre elles par voie d'addition, reproduisent toujours 

 l'quation (9), il est clair que cette dernire quation doit tre tendue, 



