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avec le thorme i er , au cas o le rayon vecteur r, avant d'atteindre sa posi- 

 tion finale, tourne d'abord dans un sens, puis ensuite en sens contraire. Il y 

 a plus : si, avant d'atteindre sa position finale , le rayon vecteur OP tourne 

 alternativement dans un sens et dans un autre plusieurs fois de suite , on 

 pourra diviser l'arc s en plusieurs parties, dont chacune soit comprise entre 

 deux points tellement choisis, que le rayon vecteur tourne toujours dans 

 le mme sens quand son extrmit passe d'un de ces points l'autre; et, 

 pour retrouver alors le thorme I er , il suffira de combiner entre elles, par 

 voie d'addition , les diverses formules correspondantes aux diverses parties 

 de l'arc s. En consquence, on peut noncer la proposition suivaute : 



2 e Thorme. Les mmes choses tant poses que dans le thorme i ,r , 

 avec cette seule diffrence, qu'avant d'atteindre sa position finale, le rayon 

 vecteur OP tourne tantt dans un sens, tantt dans un autre, en dcrivant 

 des angles quelconques, nommons s la portion de surface plane dont les 

 divers points sont prcisment ceux que rencontre dans son mouvement le 

 rayon vecteur OP. Si les fonctions X, Y, Z,. . . restent finies et continues 

 par rapport aux variables x, y, z,. . ., t, dans le voisinage de valeurs lies 

 entre elles par les formules (4) et correspondantes un point quelconque 

 de la surface S, les valeurs de X, y,z,..., donnes par ces formules, con- 

 cideront, pour chaque point de la courbe 00'...P, avec les valeurs de 

 X, y, z,. . ., que l'on dduirait de l'intgration curviligne, en faisant dcrire 

 cette courbe au point mobile. 



Corollaire. Il est important d'observer que le thorme prcdent sub- 

 sisterait dans le cas mme o le contour OO'. . .P serait en partie recti- 

 ligne et en partie curviligne, par exemple dans le cas o ce contour se 

 composerait d'un rayon vecteur OO' men du point O au point O', et d'une 

 portion de courbe O'P trace entre les points O' et P. 



En s'appuyant sur les thormes que nous venons d'tablir, on rsout 

 facilement la question suivante : 



Problme. Les lettres X, Y, Z,... tant des fonctions dtermines 

 des variables x , y. z, . ., t, supposons que les intgrales rectilignes des 

 quations (i) soient connues et reprsentes par les formules (4). Supposons 

 encore que, les variables x, y, z,. . ., t tant lies entre elles par les for- 

 mules (4), les fonctions X, Y, Z,. . . ne deviennent discontinues qu'en de- 

 venant infinies, pour certaines valeurs particulires de t correspondantes 

 certains points isols G, G', G", . . .. On demande les intgrales curvilignes, 

 correspondantes une courbe OO'O",... trace arbitrairement dans le 



