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plan qui renferme le point mobile P, et prolonge indfiniment, partir du 

 point O. 



Solution. Les valeurs initiales des variables tant supposes les mmes 

 dans l'intgration rectiligne et dans l'intgration curviligne, il rsulte, du 

 2 e thorme, que les intgrales curvilignes se confondront avec les intgrales 

 rectilignes jusqu'au moment o le rayon vecteur r, men du point O la 

 courbe, rencontrera un ou plusieurs des points isols G, C, C",.. ., par 

 exemple le point C. Nommons R la position que prendra en ce moment 

 l'extrmit P du rayon vecteur, et R', R" deux positions infiniment voisines 

 situes, l'une en de, l'autre au del de la position R. Soient enfin x, y, 

 z,. . . les valeurs de x, y, z,.. fournies par les quations (4) au moment o 

 le point mobile P atteint la position R ou plutt la position R'. Le rayon 

 vecteur r continuant se mouvoir, le point mobile P passera de la position 

 R' la position infiniment voisine R", laquelle correspondront, en vertu 

 de l'intgration curviligne, des valeurs de x, y, z,... qui diffreront infi- 

 niment peu de x, y, z,. . . . Mais il n'en sera plus de mme des valeurs de x, 

 jr\ z,... fournies par l'intgration rectiligne; et pour que, dans le passage 

 du point O au point R", l'intgration rectiligne reproduise des valeurs de 

 x, y, z,. . . sensiblement gales x, y, z,. . ., il sera ncessaire qu'en par- 

 tant du point O, l'on attribue aux variables dpendantes x, y, z,. . ., non 

 plus les valeurs initiales %, y, ,. . ., mais d'autres valeurs initiales |, , r,, , 

 , , . . . . Ajoutons que, pour obtenir ces dernires, il suffira videmment d'ap- 

 pliquer l'intgration rectiligne aux quations (i), en faisant mouvoir le 

 point P sur la ligne droite R"0, et le ramenant ainsi de la position R" la 

 position O. 



Les valeurs , , vj, , , , . . . tant dtermines, si on les prend pour va- 

 leurs initiales, les valeurs gnrales de x, y, z,-.., que produira l'intgration 

 rectiligne, seront donnes, non plus par les quations (4), mais par des 

 quations du mme genre, 



(16) * = ?(*)> J = X.W, *=*#). 



en vertu desquelles x, y, z,... se rduiront |, , *;,, , ,... pour t = r; et, si 

 l'on replace le point mobile P dans la position R, ou plutt dans la position 

 infiniment voisine R", ces quations reproduiront prcisment les valeurs 



x, y, z,. . . des variables x, y, z, Si l'on suppose ensuite que le point P, 



poursuivant sa route primitive, se meuve sur le prolongement de la courbe 

 OO'.-.R, les intgrales curvilignes correspondantes cette courbe se 

 confondront, en vertu du a e thorme, avec les intgrales rectilignes repr- 



