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les quantits qui varient d'une manire continue avec la position de ce point. 

 Soit d'ailleurs S une aire qui se mesure dans un plan donn, ou sur une sur- 

 face donne, et qui ait pour limite une seule courbe ferme de toutes parts. 

 Concevons ensuite que le point mobile P soit assujetti parcourir cette 

 courbe en tournant autour de l'aire S dans un sens dtermin. Nommons s 

 l'arc de la mme courbe, mesur positivement dans le sens dont il s'agit, 

 partir d'une origine fixe, ou du moins une variable qui croisse constamment 

 avec cet arc. Enfin, soit k une fonction des variables x,y, z,... et de leurs 

 drives relatives s; et dsignons par (S) la valeur qu'acquiert l'intgrale 



fkds, 



lorsque le point mobile P, ayant parcouru le contour entier de l'aire S, revient 

 sa position primitive. Si, l'aide de plusieurs lignes droites ou courbes , tra- 

 ces sur le plan ou sur la surface donne, on partage l'aire S en plusieurs 

 autres 



A,B,C,..., 

 alors, en nommant 



(A),(B),(C),... 



ce que devient (S) quand au contour de l'aire S on substitue le contour de 

 l'aire A , ou B , ou C,..., on aura, non-seulement 



S = A + B + C + ..., 

 mais encore 



(S) = (A) + (B) + (G) + ..., 



pourvu que la fonction A - reste finie et continue en chaque point de chaque 

 contour. 



2 Thorme. Les mmes choses tant poses que dans le i er thorme, 

 prenons d'ailleurs 



k = *%D,.r + B s j- -h 3bD,z -+-..., 



X, ??, *>,... dsignant des fonctions de x, y, z,... tellement choisies que la 

 somme 



x,dx -+- $dy + %dz +... 



soit une diffrentielle exacte, et concevons que l'on fasse varier la surface S, 

 en faisant varier par degrs insensibles la forme de la courbe qui lui sert de 

 contour. Ces variations n'altreront pas la valeur de l'intgrale (S), si la 

 fonction k reste finie et continue en chacun des points successivement oc- 

 cups par la courbe variable. 



