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3 e Thorme. Les mmes choses tant poses que dans le 2 e thorme, 



supposons que la fonction k cesse dtre finie et. continue, pour les seuls 



points 



P' p" p'" 



situs dans l'intrieur de l'aire S. Si l'on nomme a, b, c,... de trs-petits l- 

 ments de l'aire S dont chacun renferme un de ces points, on aura 



(S)=(a) + (*) + (c)-K... 



Cette dernire quation fournit l'intgrale S exprime par une somme d int- 

 grales singulires. Dans le cas particulier o la fonction k reste finie pour tous 

 les points situs dans l'intrieur de l'aire S , ces intgrales singulires s'va- 

 nouissent, et l'on a simplement 



(S) = o. 



Les dmonstrations les plus simples que l'on puisse offrir de ces divers 

 thormes me paraissent tre celles qui s'appuient sur la formule que j'ai 

 donne, dans mes Leons l'cole Polytechnique, pour l'intgration des 

 diffrentielles totales plusieurs variables , et sur la considration des formes 

 diverses que prend le rsultat de l'intgration quand on change l'une contre 

 l'autre ces mmes variables. 



Remarquons d'ailleurs que les thormes noncs suhsistent, quelle que 

 soit la forme de la ligne qui renferme l'aire S, et dans le cas mme o cette 

 ligne devient le primtre d'un polygone rectiligne ou curviligne, par 

 exemple, dans le cas o l'aire S est celle d'un secteur circulaire. 



Les corollaires qui se dduisent des thormes noncs comprennent, 

 comme cas particuliers, un grand nomhre de propositions dj connues , par 

 exemple les thormes relatifs la dtermination du nombre des racines 

 relles, et du nomhre dis racines imaginaires qui vrifient certaines condi- 

 tions, dans les quations alghrques , les thormes relatifs la convergence 

 des sries, etc. 



Lorsque, la surface S tant plaue , x, y se rduisent deux coordonnes 

 rectilignes , ou polaires, au de toute autre nature, propres dterminer la 

 position d'un point dans le plan de la surface S, alors , en dsignant par X, Vf- 

 deux fonctions continues des variahles x, y, et supposant 



A- = X-D s x -+- D s y, 



on a 



( ! i ) =ff(T) J ,X.-D x 3)dxdj; 



