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 n En vertu des conventions et des dfinitions prcdentes, les fonctions 



l(x), L(x), x a 



seront gnralement, pour des valeurs finies de retdep, des fonctions con- 

 tinues de la variable .r, si, comme nous lavons fait, on applique ce nom 

 toute fonction qui, pour chaque valeur donne de la variables, acquiert une 

 valeur unique et finie, et qui varie avec x par degrs insensibles, de telle sorte 

 qu'un accroissement infiniment petit, attribu cette variable, produise tou- 

 jours un accroissement infiniment petit de la fonction elle-mme. Seulement. 



les fonctions 



l(x), L(x), x a 



deviendront discontinues dans le voisinage de valeurs relles et ngatives 

 de x, en sorte qu'il y aura , pour de telles valeurs, solution de continuit. 



Ces principes tant admis, on pourra faire des applications nouvelles et 

 plus tendues des thormes qui reposent sur la considration des variables 

 imagiuaires et des fonctions continues, par exemple, des thormes gnraux 

 sur la convergence des sries , des formules relatives la transformation et 

 la dtermination des intgrales dfinies , et des propositions gnrales fournies 

 par le calcul des rsidus. 



Considrons , pour fixer les ides , la formule gnrale 



(3) f j\x)dx = in s r=[ L (/(*)J 



J 30 



30 O 



D'aprs ce qui a t dit dans les Exercices de Mathmatiques , cette formule 

 suppose, dune part, quel'intgrale / J\x)dx est rduite sa valeur prin- 



J 30 



cipale, d'autre part, que le produit zj\z), dans lequel zx+JK i- 

 s'vanouit pour x = oo , quel que soit y, et pour 7 = 00, quel que 

 soit x. Ajoutons que, si la fonction/(x) devient discontinue, sans devenir 

 infinie , pour des valeurs relles de x , on devra, dans le premier membre de 

 la formule (3) , remplacer^ (x) pavJ(x-\- s y/ i), tant une quantit positive 

 infiniment petite. 



Concevons maintenant que l'on pose dans la formule (3) 



(4) . J(x)=[i(x)fF(x), 



f(x), F (a:) tant deux fonctions dont chacune reste relle pour toute valeur 

 relle de x , et jouisse , comme les fractions rationnelles , de la proprit de 



