(3, 7 ) 

 on tirera des quations (2) et (4) 



D t F(x,t)=U X (x,y), 



et la formule (6) du I er donnera 



(5) s- Cf u **(*'rt dt 



Enfin si l'on fait , pour abrger, 



(6) */(*, y)-rs(x,y), 

 ou, ce qui revient au mme, si l'on pose 



(7) l 

 la formule (5) deviendra 



"(*> x) '_ {*-> y) 



x {x, y) ? T> x f(x, jr)' 





(8) 







f U m(x,Ut+r) 



Tf(x,ut + n 



dt. 



Si U, /^ se rduisent des fonctions entires de x, et rs(x,y), J\x,y) 

 des fonctions entires de x, y, alors on aura 



r Uw{x, Ut + F ) _ r / Ua(x,ut+r) \ 







et , pour que l'quation (8) se rduise 



(9) J = o, 



il suffira que, la fonction Q. tant dtermine par la formule 



(.0) 



= U 



zj(x, Ut -h V) 



f{x, m + ry 



le produit Qx s'vanouisse pour des valeurs infinies, relles ou imaginaires, 

 de la variable x. 



Considrons, prsent, le cas particulier o l'quation (1) se rduit la 

 forme 



(11) y"-X=o, 



n tant un nombre entier et X une fonction entire de x. On aura, dans 

 ce cas, 



f(x,y) = y" - X, jfa' t y) = ny-> 



