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considres comme fonctions de x, et lies x par un systme d'quations 

 algbriques ou mme transcendantes. On doit surtout distinguer le cas o 

 y, z,... peuvent tre exprimes en fonctions toujours continues, par exemple, 

 en fonctions rationnelles de la variable x, et d'une nouvelle variable t, et 

 o l'on prend pour origines des diverses intgrales relatives x , les diverses 

 valeurs de x correspondantes une valeur donne t de la variable t. Dans 

 ce cas , les diverses intgrales relatives x correspondront elles-mmes aux 

 diverses racines d'une certaine quation algbrique ou transcendante, que 

 nous appellerons Y quation caractristique, et qui renfermera les seules va- 

 riables x, t. Alors aussi, sous certaines conditions qu'il importe de connatre, 

 chaque intgrale dfinie relative x se transformera en une intgrale re- 

 lative t, et prise partir de l'origine t = t. Supposons, pour fixer les 

 ides, que la variable t soit relle. Si les fonctions de t, qui reprsentent 

 les racines de Inquation caractristique rsolue par rapport x, restent 

 relles entre les deux limites de l'intgration relative t, la condition 

 remplir sera que , dans cet intervalle , chaque racine , variant avec t d'une 

 manire continue et par degrs insensibles, soit toujours croissante ou tou- 

 jours dcroissante pour des valeurs croissantes de t. Ajoutons que, si une ou 

 plusieurs racines de l'quation caractristique deviennent imaginaires, entre 

 les limites de l'intgration relative t , la condition nonce devra tre spa- 

 rment vrifie pour les deux quantits variables qui, dans chaque racine 

 imaginaire , reprsenteront la partie relle et le coefficient de \J i . 



Lorsque les deux limites de l'intgration relative t sont assez rappro- 

 ches l'une de l'autre pour que les racines relles ou imaginaires de l'qua- 

 tion caractristique satisfassent toutes aux conditions que nous venons d'in- 

 diquer, alors la somme des intgrales relatives x peut tre transforme en 

 une seule intgrale relative t. Le cas o cette intgrale s'vanouit, et o 

 l'quation caractristique a pour premier membre une fonction entire des 

 variables x, t, mrite une attention spciale. Dans ce cas, auquel se rappor- 

 tent divers Mmoires, non-seulement d'Euler, de Lagrange et d'Abel , mais 

 aussi de MM. Jacobi, Richelot, Broch, etc., les diverses racines de l'qua- 

 tion caractristique fournissent des intgrales algbriques de certains sys- 

 tmes d'quations diffrentielles. D'ailleurs, comme je l'ai dit dans la der- 

 nire sance, ces intgrales peuvent tre ou particulires, ou mme gnrales. 

 Ainsi, par exemple, comme Euler l'a fait voir, on peut obtenir l'intgrale 

 gnrale et algbrique d'une quation diffrentielle entre deux variables , 

 dans laquelle ces variables sont spares , leurs diffrentielles y tant di- 

 vises par les racines carres de deux polynmes semblables du quatrime 



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