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Lorsque les deux limites de l'intgration relative t sont assez rap- 

 proches l'une de l'autre pour que les racines relles ou imaginaires de l'- 

 quation (2) satisfassent toutes aux conditions que nous venons d'indiquer, on 

 peut substituer la formule (1 1) la formule (3). Si d'ailleurs la condition (5) 

 se vrifie son tour, l'quation (6), jointe la formule (1 1), donnera 



(12) / k,dx,-+- l ' k 2 dx 2 



= o. 



et, en diffrentiant l'quation (12), on obtiendra l'quation diffrentielle 

 (i3) k t eh. +- k 3 dx 2 + . . . = o. 



Si l'quation (2), rsolue par rapport x, offrait quelques racines qui 

 fussent indpendantes de la variable t, alors, comme je l'ai remarqu dans 

 la prcdente sance, les intgrales correspondantes ces racines dispara- 

 traient d'elles-mmes, dans la somme reprsente par s, par consquent 

 dans les formules (3), (11), (12) et (i3). On pourra donc toujours se borner 

 prendre pour 



&t > &2 ) t 



dans les formules (12) et (1 3), celles des racines de l'quation caractristique 

 qui dpendront de la variable t. 



Lorsque Y, Z,..., T^sont des fonctions entires des variables x, y,..., t, 

 le premier membre F (x , t) de l'quation caractristique est lui-mme une 

 fonction entire des variables x, t, et cette quation, rsolue par rapport x, 

 offre un nombre fini de racines. Si l'on nomme N ce nombre, ou plutt le 

 nombre de celles qui dpendent de la variable 2, l'quation (i3), dont le pre- 

 mier membre renfermera seulement N termes, sera de la forme 



(1 4) k t dx K -+- k 2 dx 2 +-... k N dx N = o. 



Considrons en particulier le cas o les variables x ,y, z, . . . , t se rdui- 

 sent trois, et les formules (1) aux deux quations 



(,5) y-x=o, f =ut+r, 



U, V, X tant trois fonctions entires de x, les deux premires du degr m, 

 la troisime du degr mn. Alors l'quation caractristique, rduite la 

 forme 



(16) (Ut-hry-x=o, 



