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 quation, s'applique aussi au dveloppement de x , qui ne diffre du dve- 

 loppement de y que par l'addition de la constante u. 



La rgle de convergence de la srie de Lagrange tant tablie, l'auteur 

 du Mmoire a discut les divers rsultats que cette rgle peut fournir, eu 

 gard aux diverses valeurs qu'on peut attribuer au paramtre u. Cette dis- 

 cussion est lumineuse. Pour une valeur donne de t, par exemple pour <== i, 

 les divei'ses valeurs de x dveloppables en sries convergentes par la for- 

 mule de Lagrange correspondent, comme M. Chio le fait voir, divers 

 systmes de valeurs de u comprises entre certaines limites, et chacun de ces 

 systmes renferme une ou plusieurs racines de l'quation 



/() = o. 



Nommons u l'une de ces racines, prise parmi celles que renferme le systme 

 auquel appartient la valeur donne de u, et supposons cette valeur trs- 

 rapproche de u, en sorte que la diffrence 



u v = w 



soit trs-petite. Si le paramtre u se rduit prcisment la racine u, la 

 condition de convergence de la srie de Lagrange sera que le module de la 

 fonction drive f'ip) devienne infrieur l'unit. Si, au contraire, u dif- 

 fre de u, et w de zro, la condition de convergence sera que le module de 

 f'iy) soit infrieur l'unit, v tant une racine de l'quation auxiliaire 



Or M. Chio observe que, dans le cas o l'on a = u, l'quation auxiliaire, 

 rduite 



(^-)/'M-y'M = o, 



et rsolue par rapport e, offre une racine double ou multiple, savoir, une 

 racine double, sif"(y) diffre de zro; une racine triple, si, f'iy) tant 

 nul, J'"'(v) diffre de zro; une racine quadruple, si, f"{v) et f" '(u) tant 

 nuls, f" (y) diffre de zro; et ainsi de suite; puis il montre que pour de 

 trs-petites valeurs de w, v sera dveloppable, dans le premier cas, sui- 



vant les puissances ascendantes de u 2 ; dans le second cas, suivant les puis- 



j_ 

 sances ascendantes de m 3 ; dans le troisime cas, suivant les puissances ascen- 



l 

 dantes de m 4 ; etc. Il montre, de plus, que si l'on a 



