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 les racines relles de l'quation 



II (z) + t rs (z) = o , 

 et 



P, Q, R,... 



les points correspondants ces mmes racines. Les points P, Q,R,. . . et le 

 point A, correspondants la racine a , seront tous situs sur l'axe des x; et 

 les points Q, R, , . . seront tous extrieurs la courbe de premire espce qui 

 passera par le point P, en renfermant le point A dans son intrieur. Donc, 

 ceux des points Q, R,... qui seront situs, par rapport au point A, du mme 

 ct que le point P, seront plus loigns de A; et, par suite, si l'on partage 

 les racines 



a, g, y,... 



en deux classes , formes , l'une avec les racines suprieures , l'autre avec 

 les racines infrieures la constante a, la racine a. sera toujours, entre 

 celles qui appartiendront la mme classe qu'elle, la plus voisine de a. 



Observons encore que les propositions ici nonces s'tendent au cas 

 mme o les fonctions II (z), rs (z), et, par suite, la fonction U{z)-+- trs(z), 

 seraient continues, non pour des valeurs quelconques de z, mais seulement 

 entre certaines limites marques par un certain contour trac dans le plan 

 des x,y, pourvu que ce contour ft constamment extrieur la courbe de 

 premire espce qui renfermerait le point correspondant la racine a. 



Si maintenant on suppose la fonction II (z) rduite un binme de la 

 forme a z, le dveloppement de la racine a sera prcisment celui que 

 donne la formule de Lagrange , et la dernire des propositions que nous 

 venons d'noncer concidera videmment avec le thorme de M. Cbio. 



Alors aussi , en vertu des principes ci -dessus tablis , celle des racines de 

 l'quation 



a z+ trs(z) = o 



qui s'vanouira, pour une valeur nulle de t, restera dveloppable en srie 

 convergente ordonne suivant les puissances ascendantes de t, pour tout 

 module de t infrieur au plus petit de ceux qui permettront de vrifier simul- 

 tanment cette quation et la suivante : 



I t rs' (z) = o. 



On se trouvera ainsi ramen la condition de convergence qui se trouve 

 nonce dans le Mmoire de M. Ghio , et qui, comme nous l'avons dit dans 



