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le Rapport , concide avec la condition exprime la page 279 du tome I er des 

 Exercices et analyse. Il est vrai que, dans les Exercices,) ai donn cette con- 

 dition comme suffisante, sans ajouter qu'elle tait ncessaire. Mais, de l'ob- 

 servation faite au bas de la page cite, savoir, que D t z devient infinie quand 

 1 tzs'(z) s'vanouit, il rsulte, suivant le principe tabli dans d'autres M- 

 moires (voir les Comptes rendus de 1 844) > que la srie de Lagrange deyient 

 effectivement divergente ds que la condition nonce cesse d'tre remplie. 



Je remarquerai en finissant que , si le module de T vient crotre , les 

 courbes de premire espce se runiront successivement les unes aux autres , 

 et que leur nombre diminuera sans cesse jusqu' ce qu'elles se rduisent 

 une seule. Alors aussi , aprs chaque runion de deux ou de plusieurs courbes 

 de mme espce en une seule, on pourra toujours dvelopper en srie con- 

 vergente la somme des diverses racines qui correspondaient divers points 

 situs sur les courbes runies , ou mme la somme de fonctions semblables et 

 continues de ces racines. Ajoutons que chacune des sries ainsi formes aura 

 toujours pour module , comme il serait facile de le prouver, le rapport 



T 



6 tant un module de t pour lequel l'quation (7) puisse acqurir des racines 

 gales, par consquent un module qui permette de satisfaire simultanment 

 l'quation (7) et l'quation (10). 



THORIE DES NOMBRES. Rapport sur une Note de M. d'Adhmar. 



(Commissaires, MM. Lam, Cauchy rapporteur.) 



Parmi les proprits des nombres qui se dduisent des formules relatives 

 la sommation des puissances, quelques-unes fournissent des thormes qui 

 ont mrit d'tre remarqus en raison de leur lgance et de leur simplicit. 

 Ainsi, par exemple, ou a reconnu qu'en sommant la suite des nombres impairs , 

 on obtient pour somme le carr du nombre des termes. On a reconnu, de 

 plus, qu'en sommant la suite des cubes des nombres naturels, ou obtient 

 pour somme le carr du nombre triangulaire correspondant au nombre des 

 termes de cette dernire suite. Or, de ces propositions runies, il rsulte 

 videmment qu'un cube quelconque est non-seulement la diffrence entre 

 les carrs de deux nombres triangulaires conscutifs, mais encore la somme 

 de plusieurs nombres impairs conscutifs, dont le premier surpasse de l'u- 

 nit le double d'un nombre triangulaire. Cette dernire proposition concide 



C. R., 1846, a" Semestre. (T. XXI11, N 10.) 66 



