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cherch une mthode l'aide de laquelle on pt rsoudre gnralement la 

 mme question pour les intgrales algbriques des quations diffrentielles 

 du genre de celles dont je me suis occup dans les sances prcdentes, et 

 j'ai reconnu qu'un emploi convenable de la formule d'interpolation de La- 

 grange permettait d'atteindre ce but. J'ai obtenu, de cette manire, divers 

 rsultats qui me paraissent mriter l'attention des gomtres, et qui seront 

 dvelopps dans mes Exercices d'Analyse. Je me bornerai , pour l'instant , 

 en donner une ide en peu de mots. 



Considrons , en particulier, les quations diffrentielles qui , renfermant 

 des radicaux , peuvent s'intgrer algbriquement. Si Ton se sert de la mthode 

 que j'indique pour introduire dans les intgrales les valeurs initiales des 

 inconnues, on reconnatra que l'on peut choisir arbitrairement les racines de 

 l'unit , employes comme facteurs dans les divers termes de chaque quation 

 diffrentielle. Donc, s'il s'agit de radicaux carrs, on pourra intgrer les 

 quations diffrentielles, non-seulement quand tous les termes seront pr- 

 cds du signe -+- , mais encore quel que soit le signe de chaque terme. De 

 plus, si au systme des variables donnes on joint un second systme de va- 

 riables propres reprsenter les valeurs des divers radicaux, la mthode pro- 

 pose fournira, pour la dtermination de toutes ces variables, un systme 

 d'quations non-seulement algbriques, mais rationnelles. 



Les principes que je viens d'noncer s'appliquent avec succs la re- 

 cherche des proprits des fonctions inverses de celles qu'expriment les in- 

 tgrales binmes. On sait qu' ces intgrales, quand elles renferment sous 

 le signe f et en dnominateur, les racines carres de binmes du second 

 degr, rpondent des fonctions inverses qui sont prcisment les fonctions 

 trigonomtriques appeles sinus et cosinus. On sait aussi que ces fonctions tri- 

 gonomtriques jouissent de plusieurs proprits remarquables, et que, par 

 exemple, les sinus et cosinus de la somme de deux arcs s'expriment ration- 

 nellement en fonction des sinus et cosinus de ces arcs. Or, des proprits 

 analogues celles de ces deux lignes trigonomtriques appartiennent aussi 

 ce qu'on pourrait appeler les sinus et cosinus des divers ordres , c'est-- 

 dire aux fonctions inverses de celles qu'expriment des intgrales binmes, 

 dans lesquelles entrent, sous le signe f et en dnominateur, la racine cubique 

 d'un binme du second degr, ou la racine quatrime d'un binme du troi- 

 sime degr, etc. Ainsi, en particulier, si l'on considre le troisime ordre, 

 le sinus et le cosinus de la somme de deux variables pourront tre exprims 

 en fonctions rationnelles des sinus et cosinus de ces mmes variables , laide 

 d'une formule trs-simple que Ion trouvera dans mon Mmoire. 



