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 que Ton rduit 

 (ar) U{ t -\- v, =j,, u 2 t -+- v 2 j 2 ,. . ., u m t + v m j,, 



en posant, pour abrger, 



(22) jr K = 9, (x t ) , f 2 = 2 (a:,), . . . , J, = Q m (x m ). 



D'autre part, dans l'hypothse admise, s ne sera autre chose que la somme 

 des valeurs de l'intgrale 8 correspondantes aux valeurs 



3- \ 1 *8I 1 & m 



de la variable *} et comme, en supposant t suffisamment rapproch de 

 zro, on aura 



i kD c xdt == ? kdx, 



g tant la valeur de x correspondante t == o, il suffira de prendre 

 (a3) k, = f(xjr t ), k 2 = (x 2 ,jr 2 ),..., k^ as f {x m Xm) , 



pour rduire la valeur de j la forme 



k t dXi -+- I k 2 dx 2 -h . . . -+ I k m dx m . 



Ainsi, dans l'hypothse admise, c'est--dire lorsqu'on ne dimiuue pas le 

 nombre des racines de l'quation (12), en rduisant t zro, la valeur de s 

 peut tre fournie, non-seulement par l'quation (17), mais aussi par l'qua- 

 tion (24), les valeurs de x K , x 2 ,. . ., x m tant lies entre elles et la va- 

 riable t. par les formules (21). On a donc alors 



(25) j 'k t dx t -f- J 'k 2 dx 2 -+- . . . + f k m dx m = - f t t~^J dt '- 

 puis on en conclut, en diffrentiant les deux membres, 



(26) k, dx, +k 2 dx 2 -h...+ k m dx m = - L S^yj dt - 

 Donc alors on satisfait, quelle que soit la fonction 



k = f (x. f) , 



