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Dans un prochain article , j'appliquerai les formules que je viens d'ta- 

 blir divers exemples, et, en particulier, aux fonctions inverses de celles 

 qui reprsentent les intgrales binmes, ou ce qu'on appelle les sinus et 

 cosinus des divers ordres. 



calcul intgral. Mmoire sur les intgrales dans lesquelles la fonction 

 sous le signe f change brusquement de valeur; par M. Augustin Cauchy. 



Les thormes que j'ai donns dans la sance du 3 aot , pour les int- 

 grales qui s'tendent tous les points de la courbe enveloppe d'une aire 

 trace sur un plan ou sur une surface quelconque, offrent un des moyens les 

 plus simples d'tablir les formules gnrales qui servent la dtermination 

 ou la transformation des intgrales dfinies. On doit surtout remarquer le 

 cas o la fonction diffrentielle place sous le signe / peut tre considre 

 comme la diffrentielle exacte d'une autre fonction qui dpend uniquement 

 de la position d'un point P mobile sur la surface donne, et o cette fonction 

 diffrentielle ne cesse d'tre finie et continue que pour certains points isols 

 de l'aire termine par la courbe dont il s'agit. Alors, comme nous l'avons vu, 

 l'intgrale propose peut tre remplace par une somme d'intgrales singu- 

 lires dont chacune se rapporte la courbe enveloppe d'un lment de sur- 

 face, dont les deux dimensions sont infiniment petites. 



Lorsque la fonction sous le signe f, tant la diffrentielle exacte d'une 

 autre fonction variable avec le point mobile P, change brusquement de va- 

 leur dans l'tendue de la surface que termine la courbe donne, ce change- 

 ment brusque a gnralement lieu pour une srie de points contigus les uns 

 aux autres, et situs sur une ou plusieurs lignes dont les longueurs peuvent 

 tre finies. Alors , on peut supposer chacune de ces lignes renferme avec 

 un lment de surface dont une seule dimension soit infiniment petite, dans 

 une courbe qui enveloppe cet lment, et l'intgrale propose est la somme 

 de plusieurs autres que l'on pourrait encore nommer singulires, chacune 

 d'elles tant relative un lment de surface infiniment petit. On verra, 

 dans le prsent Mmoire, le parti que l'on peut tirer de la considration de 

 cette nouvelle espce d'intgrales singulires, surtout dans le cas o la fonc- 

 tion sous le signe f se dcompose en deux facteurs, dont l'un se rduit un 

 logarithme ou une puissance fractionnaire. En effet, on parvient, de cette 

 manire , non-seulement obtenir des dmonstrations trs-simples des belles 

 proprits des intgrales eulriennes, mais encore tablir un grand 

 nombre de formules nouvelles, et relatives soit aux facteurs elliptiques, soit 

 d'autres transcendantes d'un ordre encore plus lev. 



C. R., 1846, 2""= Semestre. (T. XXIII, ti" il.) 7 1 



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