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contour entier de l'aire S, revient sa position primitive. Si l'on fait varier 

 la surface S, en modifiant par degrs insensibles la forme de la courbe qui 

 l'enveloppe, alors, d'aprs ce qui a t dit dans la sance du 3 aot, cette 

 variation n'altrera pas la valeur de (S), tant que la fonction k restera finie 

 et continue en chacun des points successivement occups par la courbe va- 

 riable. De plus, si, l'aide de diverses lignes droites ou courbes traces sur 

 le plan donn, on partage l'aire S en plusieurs autres A, B, C, . . . , en nom- 

 mant (A), (B), (C),... ce que devient (S) quand au contour de l'aire S on 

 substitue le contour de l'aire A, ou B, ou C,... , on aura 



Cj (S) = (A) + (B) + (C) + ..., 



pourvu que la fonction k reste finie et continue en chaque point de chaque 

 contour. 



Observons encore que, si deux fonctions distinctes k, k t offrent pour 

 diffrence une troisime fonction qui demeure finie et continue pour chaque 

 point de l'aire S, la valeur de (S) relative cette troisime fonction s'va- 

 nouira; et, qu'en consquence, les valeurs de (S) correspondantes aux deux 

 fonctions k , k r seront gales entre elles. 



Les variables dsignes par u, v, w,... dans la formule (i) peuvent 

 tre ou relles ou imaginaires. Dans ce qui suit, nous considrerons spciale- 

 ment le cas o, x, y tant deux variables relles propres reprsenter les 

 coordonnes rectangulaires du point mobile P, on suppose la variable ima- 

 ginaire z lie j par la formule 



(3) z = x -+ f\J-i, 



et la fonction - lie la variable z par la formule .f 



(4) k=f(z)D,z. 



Nous supposerons d'ailleurs que l'arc s se mesure positivement dans le sens 

 suivant lequel il faut que le point P se meuve pour qu'il ait autour de la sur- 

 face S, dans le plan des x, j, un mouvement de rotation direct. 



Gela pos , si la fonction primitive de f[z) est connue , en sorte qu'on ait 

 par exemple 



(5) J'J (z)dz = (z) -+- constante , 



et si 1 on nomme A la somme des accroissements instantans qu'acquerra la 

 fonction $(z), tandis que le point mobile P dcrira le contour entier de 



