( 56o ) 

 la somme qu'indique le signe o s tendant aux seules racines de l'quation 



-^ = o, qui correspondront des points situs dans l'intrieur de l'aire S. 



/ n r 



La formule (6) comprend, comme cas particuliers, celles que j'ai donnes 



dans le tome I er des Exercices de Mathmatiques [pages 101 et an], et 

 que l'on en dduit, i en prenant pour S l'aire d'un rectangle compris entre 

 quatre droites parallles aux axes des z et j; en remplaant les coor- 

 donnes rectangulaires x, r par des coordonnes polaires r, p, et en pre- 

 nant pour S la diffrence entre deux secteurs circulaires, c'est--dire laire 

 comprise entre deux arcs de cercle qui ont pour centre commun l'origine , et 

 deux rayons mens aux extrmits du plus grand arc. 



Concevons maintenant que la fonction f{) soit de la forme 



(9) ' /(*) = F( Z )lf( Z ), 



la lettre 1 indiquant un logarithme nprien. Alors , si l'on pose 



f (%) = u + v \J i , 



u et v tant rels, on pourra gnralement dans l'intrieur de l'aire S tracer 

 une ou plusieurs lignes droites ou courbes , dont l'une quelconque OO' sera 

 de telle nature qu'en chacun de ses points la fonction v sera nulle et la fonc- 

 tion w ngative. Alors aussi on verra gnralement la fonction v passer du 

 ngatif au positif, quand on passera d'un point R situ d'un ct de la 

 courbe OP un point R' situ de l'autre ct. Supposons d'ailleurs les 

 points R , R' infiniment rapprochs de la ligne OO ', et nommons a une sur- 

 face infiniment troite qui renferme cette courbe dans son intrieur, le con- 

 tour de l'aire a tant dcrit par un point mobile qui passe avec un mouve- - 

 ment de rotation direct de la position R la position R'. Enfin soit O celui 

 des deux points O, O' que le point mobile P rencontre avant d'arriver eu R. 

 Alors, en supposant l'arc s mesur non plus sur le contour de l'aire S, mais 

 sur la ligne OO' et partir du point O , on trouvera 



(10) . (a) = an V'^T rF(s)D I sr/j, 



Jo 



dsignant la longueur entire de l'arc OO'. 



Gela pos, si la fonction J \z) ne devient infinie ou discontinue, entre 

 les limites indiques par le contour de l'aire S, que dans le voisinage de la 

 ligne OO' et des autres courbes de mme nature, ou bien encore dans le 



