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Au reste, les principes exposs dans ce Mmoire fournissent videm- 

 ment le moyen d'tablir une multitude de formules gnrales, analogues 

 celles que nous avons obtenues , et de. rduire la dtermination de l'int- 

 grale (S) l'valuation d'intgrales singulires, quelle que soit la surface S , et 

 quelle que soit la forme de la fonction^ (z). En effet, la fonction y'(z) peut 



devenir discontinue dans le voisinage de certaines valeurs de z = x-\- j\j i 

 correspondantes certains points Q, R,... de l'aire S, soit en devenant in- 

 finie, soit en changeant brusquement de valeur. Dans le premier cas, 

 les points Q, R,... sont ncessairement des points isols P', P",.... Dans le se- 

 cond cas, ils sont contigus les uns aux autres, et situs sur une ou plusieurs 

 lignes droites ou courbes OO', dont les longueurs peuvent tre finies. 

 D'autre part, il est ais de voir que la formule (2) peut tre tendue au 

 cas o quelques-unes de ces lignes rencontreraient les contours des sur- 

 faces A, B, C,... ; et, pour que cette formule subsiste quand on a k==f(z)T) s z, 

 il suffit que la fonction f(z) reste finie en chaque point de chaque contour. 

 Cela pos, on pourra gnralement partager l'aire S en lments A, B, C,... 

 et a, b, c,..., les uns finis, les autres infiniment petits, les lments finis A, 

 B,C,... tant choisis de telle manire que la fonction^(z) reste finie et 

 continue en chaque point de chacun d'entre eux, et les lments infiniment 

 petits a, b, c,... tant ou des surfaces qui s'tendent infiniment peu dans tous 

 les sens autour des points isols P', P",.. , ou des surfaces infiniment troites 

 dont chacune renferme dans son intrieur une des courbes OO', ou une 

 portion de l'une de ces courbes. Ce partage tant opr, la formule (2) 



donnera 



(S) = (a) + (b) + (c)+..., 



puisque les intgrales correspondantes des lments finis A,B, C,... de 

 l'aire S s'vanouiront; et la dtermination de l'intgrale (S) se trouvera r- 

 duite la dtermination des intgrales singulires (a), (b), (c),... dont le* 

 valeurs, quand elles seront finies sans tre nulles, se dduiront de la for- 

 mule (2) s'il s'agit d'lments qui renferment les points isols P', P",..., ou, 

 dans le cas contraire, d'quations analogues aux formules (10), (14),... . 



calcul intgral. Mmoire sur les intgrales imaginaires des quations 

 dijfrentielles , et sur les grands avantages que l'on peut retirer de la 

 considration de ces intgrales, soit pour tablir des formules nouvelles, 

 soit pour claircir des difficults qui ri avaient pas t jusqu'ici complte- 

 ment rsolues; par M. Augustin Cauchy. 



On connat le rle important que jouent tes expressions imaginaires 



