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non-seulement datas la rsolution des quations algbriques ou transcen- 

 dantes, mais encore dans un grand nombre d'autres problmes. Ainsi, par 

 exemple, c'est en considrant les valeurs imaginaires d'une variable que Ton 

 parvient la condition de convergence de la srie qui reprsente le dve- 

 loppement d'une fonction suivant les puissances ascendantes de cette va- 

 riable; et c'est aussi sur le passage du rel l'imaginaire que repose, dans le 

 calcul des rsidus, rtablissement de formules gnrales propres la transfor- 

 mation ou mme la dtermination d'un trs-grand nombre d'intgrales d- 

 finies. Il tait donc naturel de penser que, dans la thorie de l'intgration des 

 quations diffrentielles, des rsultats nouveaux et inattendus devraient 

 sortir de la considration directe des intgrales imaginaires, non pas res- 

 treinte quelques cas particuliers dj traits par les gomtres, mais tendue 

 tous les cas possibles. C'est , en effet, ce qui arrive. Ayant dirig mes recher- 

 ches de ce ct , je suis parvenu , non-seulement porter la lumire dans des 

 questions dlicates qui n'avaient pas t suffisamment claircies, mais encore 

 tablir des thormes nouveaux qui, en raison de leur gnralit, me pa- 

 raissent dignes d'attention. Avant de les indiquer, il me semble utile, afin 

 d'tre parfaitement compris, de bien fixer le sens des expressions dont je me 

 servirai dans la suite , et de dire avec prcision ce que j entends lorsque je 

 parle des intgrales particulires ou gnrales, relles ou mme imaginaires, 

 d'un systme donn d'quations diffrentielles. 



Ainsi que je l'ai remarqu dans les Leons donnes l'cole Polytechni- 

 que, un systme quelconque d'quations diffrentielles peut toujours tre 

 rduit un systme d'quations diffrentielles du premier ordre. D'ailleurs, 

 tant donnes n quations diffrentielles du premier ordre entre n variables 



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jc, jr t z,... , t f 



on pourra toujours considrer une des variables t comme indpendante, et 

 les drives des autres variables comme dtermines par le systme de ces 

 quations diffrentielles, en fonctions explicites ou du moins implicites de x, 

 y, z,. . . , t. D'ailleurs la connaissance de ces dernires fonctions ne fournira 

 pas le moyen de fixer compltement les valeurs gnrales des variables d- 

 pendantes jc, y, z,.. .; et, pour que l'intgration des quations diffrentielles 

 donnes se rduise un problme dtermin, il sera ncessaire d'assujettir 

 encore les variables dpendantes x, y, z, . . prendre certaines valeurs 

 initiales 



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