. ( 566 ) 



leurs valeurs initiales, t tant la variable indpendante, les diffrences 

 jc , y y, z , . . . seront des vritables intgrales dfinies, prises par 

 rapport t, partir de l'origine t, les fonctions sous le signe f tant des 

 fonctions des diverses variables considres elles-mmes comme fonctions 

 implicites de t. Ces diffrences seront gnralement de la nature des trans- 

 cendantes que j'ai considres dans mon Mmoire sur les intgrales dfinies 

 prises entre des limites imaginaires , puisqu'on peut supposer imaginaires non- 

 seulement les fonctions sous le signe/, mais encore la valeur initiale et la va- 

 leur finale de la variable indpendante t. D'ailleurs ces intgrales pourront, 

 dans tous les cas, tre dtermines, et mme de plusieurs manires, avec une 

 exactitude aussi grande qu'on le voudra, soit l'aide de dveloppements en 

 sries, soit l'aide de la mthode d'intgration prcdemment rappele. 

 Pour faire mieux saisir ce que j'ai dire cet gard, et peindre en quelque 

 sorte aux yeux la marche du calcul, je vais en donner ici une interprtation 

 gomtrique. 



Considrons, dans la variable indpendante t, la partie relle, et le 

 coefficient de y i, comme propres reprsenter les coordonnes rectangu- 

 laires d'un point P mobile dans un plan horizontal. A chaque valeur dter- 

 mine de t correspondra une position dtermine du point P, et rciproque- 

 ment. Nommons d'ailleurs origine le point O du plan qui correspond la 

 valeur initiale t de t, et joignons cette origine au point P par une lifjne droite 

 ou courbe. Si l'on nomme s la longueur mesure sur cette ligne depuis l'ori- 

 gine O jusqu' un point quelconque intermdiaire entre O et P, l'intgrale 

 imaginaire qui reprsente la valeur de la diffrence x pourra tre trans- 

 forme en une intgrale relative la variable relle s. Or, quand on arrivera 

 au point P, la valeur de cette dernire intgrale restera gnralement ind- 

 pendante de la ligne droite ou courbe que l'on aura suivie. Cependant le 

 contraire peut arriver, et, afin de ne laisser rien d'arbitraire dans la dtermi- 

 nation des intgrales d'uu systme d'quations diffrentielles, il convient 

 de fixer la nature de la ligne sur laquelle se mesure la longueur s. J'appelle 

 intgration rectiligne celle qui fournit les valeurs des intgrales dans le cas 

 o la ligne est droite, ce qu'on suppose ordinairement quand il s'agit de cal- 

 culer des intgrales relles. L'intgration deviendra curviligne dans le cas 

 contraire. 



Il arrive quelquefois que , dans l'intgration rectiligne ou curviligne , 

 la fonction sous le signe j devient infinie en un point de la ligne OP, sur 

 laquelle on marche, et alors la valeur de l'intgrale dfinie qui reprsente la 

 diffrence x % peut devenir indtermine. Dans ce cas aussi, en remplaant 



