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la ligne OP par une ligue infiniment voisine, on verra souvent l'intgrale 

 dfinie changer brusquement de valeur. Cette circonstance trs-remar- 

 quable offre quelque analogie avec celle que j'ai autrefois signale, en 

 observant que les valeurs des intgrales dfinies doubles peuvent varier avec 

 l'ordre dans lequel s'effectuent les intgrations. Elle permet d'claircir et 

 d'expliquer certaines formules, que l'on pourrait appeler paradoxales, don- 

 nes par quelques gomtres, et entre autres par Poisson, dans le XVIII e cahier 

 du Journal de l'Ecole Polytechnique. On reconnat ainsi, par exemple, que 

 la valeur imaginaire attribue par Poisson l'intgrale 



f: 



dx 



prise entre les limites relles o et oo de la variable x suppose relle , est pr- 

 cisment la valeur d'uneintgraleimaginaire produite par une intgration rec- 

 tiligne relative une droite qui s'carte trs-peu de l'axe des x; mais, en 

 mme temps, on reconnat que, de l'antre ct de l'intgrale relle , se trouve 

 une seconde intgrale imaginaire, et que la demi-somme des deux intgrales 

 imaginaires est la valeur principale de l'intgrale relle. 



A l'observation que je viens de faire, j'enjoindrai une autre qui est 

 encore plus importante : c'est que les rsultats d'une intgration effectue 

 suivant un mode dtermin, par exemple les rsultats de l'intgration recti- 

 ligne, dpendent non-seulement des valeurs initiales des variables, mais 

 encore gnralement du choix de la variable que l'on considre comme in- 

 dpendante. Les valeurs initiales des variables restant les mmes, si l'on 

 prend pour variable indpendante, d'abord la variable t, puis la variable x, 

 les intgrales obtenues dans les deux cas ne s'accorderont gnralement 

 qu'entre certaines limites. La raison en est facile saisir. Lorsque l'on con- 

 sidre t comme variable indpendante, alors, pour trouver la formule ou le 

 systme de formules qui reprsente les intgrales compltes, on doit suc- 

 cessivement attribuer t toutes les valeurs possibles relles ou imaginaires. 

 Mais, ces diverses valeurs de t pourront rpondre, en vertu des formules 

 trouves, des valeurs de x qui demeurent toutes comprises entre certaines 

 limites. Donc, en renversant les formules trouves, on ne pourra en d- 

 duire que les valeurs de t correspondantes des valeurs de x comprises 

 entre ces limites. Il y a plus: je prouve que, pour l'ordinaire, on devra res- 

 treindre encore ces limites quand on voudra obtenir des valeurs de t en x 

 qui concident avec celles que fournirait l'intgration directement effectue 

 clans le cas o l'on prendrait x pour variable indpendante. 



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