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x J'appelle intgrales relatives t celles qui se rapportent au cas o l'on 

 prend t pour variable indpendante. D'aprs ce qu'on vient de dire, les 

 valeurs initiales des variables tant donnes, les intgrales relatives t ne 

 fourniront qu'entre certaines limites les intgrales relatives x. Pour com- 

 plter ces dernires intgrales , on sera donc oblig de recourir d'autres 

 intgrales relatives t, savoir, celles qu'on obtient quand on modifie les 

 valeurs initiales des variables. Mais quelles modifications successives doit- 

 on apporter ces valeurs pour obtenir une suite d'intgrales relatives t, 

 desquelles on puisse dduire les intgrales relatives x, et comment 

 doit-on s'y prendre pour passer des unes aux autres sans calculs inutiles? 

 C'est ce qu'il importe d'examiner. L'opration qui sert effectuer ce pas- 

 sage, et que je nomme l'inversion, doit tre videmment soumise des 

 rgles fixes. On trouvera dans mon Mmoire ces rgles, qui paraissent m- 

 riter d'tre remarques, et qui s'appuient sur un thorme trs-gnral, dont 

 voici l'nonc : 



Thorme. L'intgration tant suppose rectiligne, les intgrales rela- 

 tives la variable x pourront se dduire des intgrales relatives la va- 

 riable , et rciproquement, jusqu'au moment o le module de l'une des 

 diffrences x | , t r, considr comme fonction du module [primitive- 

 ment nul et croissant de l'autre, deviendra, pour la premire fois, uu 

 maximum. 11 ne faut pas oublier d'ailleurs que, dans le cas o il s'agira de 

 calculer le module maximum de la diffrence x , l'argument de cette 

 dernire diffrence devra tre considr comme constant. 



Le passage des intgrales relatives t aux intgrales relatives x 

 introduit souvent, dans le calcul, des fonctions priodiques. C'est ce qui ar- 

 rive, en particulier, pour un grand nombre d'quations diffrentielles entre x 

 et t, quand le rapport des diffrentielles des deux variables est exprim par 

 une fonction de la seule variable t. Alors l'intgrale relative x n'est autre 

 chose que la fonction inverse d'une intgrale dfinie relative t, et souvent 

 cette fonction inverse est priodique , simple ou double priode. J'exa- 

 minerai en particulier, dans un autre article, les fonctions priodiques ainsi 

 obtenues, et je montrerai comment les rgles de Yinversion conduisent la 

 dtermination de la priode , et comment cette dtermination se lie la 

 thorie des rsidus. Je me bornerai, pour l'instant, observer que les fonc- 

 tions inverses des intgrales dfinies n'offrent pas toujours, et pour des va- 

 leurs quelconques des variables, les valeurs qui leur ont t assignes dans 

 les ouvrages mme les plus accrdits. Ainsi, par exemple, la fonction 

 inverse de I intgrale 



