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bienveillance avec laquelle les gomtres ont accueilli les rsultats de mes 

 prcdents travaux sur cette, matire , me fait esprer que l'Acadmie me 

 permettra d'entrer, ce sujet, dans quelques dtails. 



Jusqu'ici, en considrant les intgrales dfinies qui se rapportent aux 

 divers points d'une courbe ferme dcrite par un point mobile dont les 

 coordonnes rectangulaires reprsentent la partie relle d'une variable ima- 

 ginaire x et le coefficient de \J i dans cette variable, j'avais suppos 

 que , dans chaque intgrale , la fonction sous le signe f reprenait prci- 

 sment la mme valeur lorsque , aprs avoir parcouru la courbe entire , 

 on revenait au point de dpart. Mais rien n'empche d'admettre que, dans 

 une telle intgrale, la fonction sous le signe /, assujettie, si l'on veut, va- 

 rier avec x par degrs insensibles , acquiert nanmoins des valeurs diverses 

 diverses poques o la valeur de x redevient la mme. C'est ce qui arrivera , 

 en particulier, si la fonction sous le signe /, assujettie varier par degrs 

 insensibles avec la position d point mobile que l'on considre, renferme des 

 racines d'quations algbriques ou transcendantes. Alors , si le point mo- 

 bile parcourt plusieurs fois de suite une mme courbe, les racines com- 

 prises dans la fonction dont il s'agit pourront varier avec le nombre des 

 rvolutions qui ramneront le point mobile sa position primitive O, de 

 telle sorte qu'une racine d'une quation donne pourra se trouver remplace, 

 aprs une rvolution accomplie, par une autre racine de la mme quation. 

 Par suite, la fonction sous le signe /, que l'on doit supposer compltement 

 dtermine au moment du dpart, pourra tre remplace , aprs une ou 

 plusieurs rvolutions, par des fonctions nouvelles. Alors aussi le nombre 

 des rvolutions pourra exercer une influence marque sur la valeur de l'int- 

 grale dfinie obtenue , et cette intgrale sera gnralement elle-mme une 

 fonction de la variable x qui , variant avec x par degrs insensibles , pourra 

 nanmoins, diverses poques, acqurir diverses valeurs correspondantes 

 une seule et mme valeur de x. Il y a plus : si la courbe que l'on considre 

 est forme d'une infinit de branches qui viennent toutes se couper au 

 mme point O, et si, dans ses diverses rvolutions, le point mobile par- 

 court successivement ces diverses branches, les diverses valeurs de l'in- 

 tgrale, correspondantes une mme valeur de x, pourront tre en nombre 

 infini; et, par suite, si le nombre des rvolutions reste illimit, la va- 

 leur de l'intgrale sera, dans certains cas, compltement indtermine. 

 Mais cela n'empchera pas l'intgrale d'acqurir, aprs une seule rvo- 

 lution du point mobile, une valeur dtermine; et ce qui mrite d'tre re- 

 marqu, c'est que cette valeur sera, pour l'ordinaire, dpendante de la po- 



