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 sition du point mobile, et indpendante, sous certaines conditions, de la 

 forme de la courbe. En effet, si cette forme vient varier par degrs insen- 

 sibles, la valeur de l'intgrale ne sera point altre , pourvu que la fonction 

 sous le signe f reste finie et continue en chacun des points successivement 

 occups par la courbe variable. Cette proposition, qui subsiste dans le cas 

 mme o l'on remplace la courbe donne par un polygone, permet de trans- 

 former les intgrales qui correspondent des courbes quelconques fermes 

 ou non fermes, en d'autres intgrales correspondantes des lignes droites. 

 Elle permet aussi de reconnatre dans quels cas les thormes relatifs la d- 

 composition des intgrales prises entre des limites relles peuvent tre ten- 

 dus aux intgrales prises entre des limites imaginaires. Enfin , elle permet 

 de reconnatre sans peine la nature des fonctions inverses de celles qui re- 

 prsentent des intgrales dfinies donnes, ou plutt des fonctions que les 

 gomtres ont dsignes sous ce nom, et qui ne sont, en ralit, que des 

 intgrales d'quations diffrentielles. Dans le cas o ces fonctions sont p- 

 riodiques, on peut, l'aide de la proposition nonce, calculer facilement 

 ce qu'on nomme leurs indices de priodicit, ainsi que les diverses valeurs 

 de la variable qui rendent ces fonctions nulles ou infinies. Ces valeurs tant 

 une fois connues , si les fonctions dont il s'agit ne deviennent discontinues 

 qu'en devenant infinies, alors, pour les dcomposer en fractions rationnelles, 

 ou pour les transformer en produits composs d'un nombre infini de fac- 

 teurs , il suffira ordinairement de recourir aux rgles que fournit le calcul 

 des rsidus , telles que je les ai donnes dans le second et le quatrime 

 volume des Exercices de Mathmatiques. 



ANALYSE. 



La position d'un point mobile P tant dtermine dans un plan, 

 l'aide de coordonnes rectilignes ou polaires, ou de toute autre nature, con- 

 cevons que l'on trace , dans ce plan , une courbe ferme , et nommons s l'arc 

 de cette courbe mesur positivement dans un sens dtermin partir d'une 

 certaine position initiale O du point mobile P. Soient d'ailleurs u, v, w,... 

 des variables qui changent de valeurs d'une manire continue avec la posi- 

 tion du point mobile, et, en faisant concider ce point avec l'extrmit de 

 l'arc s , prenons 



(0 k = Udu + Vdv -+- Wdw -t- ..., 



U, V, W,... tant des fonctions de u, v, w,... tellement choisies, que la 

 somme Udu + Fdv+ Wdw -+-... soit une diffrentielle exacte. Enfin, 



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