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nommons le contour ou primtre de la courbe ferme, et S l'aire qu'en- 

 veloppe cette courbe ; dsignons par (S) la valeur qu'acquiert l'intgrale fkds 

 lorsque le point mobile P, ayaut parcouru le contour entier de l'aire S, re- 

 vient sa position primitive; et concevons que l'on fasse varier la surface S , 

 en modifiant par degrs insensibles la forme de la courbe qui l'enveloppe 

 sans que cette courbe cesse de passer par le point O. D'aprs ce qui a t dit 

 dans les sances du 3 aot et du 21 septembre, les variations de la surface S 

 et de son enveloppe n'altreront pas la valeur de l'intgrale (S), si la fonction 

 de u, v, w,..., reprsente par la lettre h, reste finie et continue en chacun 

 des points successivement occups par la courbe variable. D'ailleurs, cette 

 condition tant suppose remplie, la fonction k peut, au moment o le 

 point mobile P revient sa position primitive, ou reprendre sa valeur ini- 

 tiale, ou acqurir une valeur nouvelle. Nous allons examiner successivement 

 ces deux cas, trs-distincts l'un de l'autre, et indiquer en peu de mots les 

 rsultats dignes de remarques auxquels on se trouve conduit par cet examen. 

 Soit OO'O". .. la courbe dcrite par le point mobile P. Si la fonc- 

 tion k reprend la mme valeur au moment o le point P revient sa position 

 primitive O, alors la valeur K de l'intgrale (S) sera indpendante de cette 

 position primitivement assigne au point mobile sur la courbe qu'il dcrit; et 

 si, en partant de la position O, le point mobile parcourt une, deux, trois 

 fois, etc., de suite le contour entier de Paire (S), l'intgrale Jkds acquerra 

 successivement les valeurs 



K, %K, 3K,.... 

 Si, d'ailleurs, on pose 



(2) t I kds y 



k et t seront des fonctions de la variable s, lies cette variable de telle ma- 

 nire, qu'aux accroissements 



, 25, 3,... 



de la variable s, correspondront les accroissements 



K, *K, 3K,... 



de la variable t, la fonction k restant invariable. 

 Prenons maintenant, pour fixer les ides, 



(3) k = /{x)T) s x, 



