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il sera ncessaire que K s'vanouisse , c'est--dire que l'aire S ne renferme 

 aucun point isol correspondant un rsidu qui diffre de zro. Par cons- 

 quent, l'quation (i3) et autres semblables qui subsistent gnralement, 

 quand H s'agit d'intgrales prises entre des limites relles , ne subsistent plus 

 que sous certaines conditions dans le cas o les limites des intgrales deviennent 

 imaginaires. 



Pour montrer une application trs-simple des formules qui prcdent, 



posons j (x) = Alors on trouvera t^{f{oc)) = i. Donc, en vertu des 



formules (12), (i3), on aura 



r c dx r h dx r c dx , 



ou 



r c - c b dx f c ~ 



Ja x ~ Ja x Jb ~* 



suivant que l'origine des coordonnes sera situe en dedans ou en dehors du 

 triangle dont les sommets correspondront aux autres points a , b , c ; ce 

 qu'on peut aisment vrifier en ayant gard la formule 



qui subsiste, quels que soient a et b, lorsque - n'est pas rel et ngatif. 



Concevons prsent que l'on diffrentie l'quation (5) : on obtiendra 

 l'quation diffrentielle 



(i4) dt=f(x)dx 



entre les deux variables J?, t. Soient g, t deux valeurs particulires et cor- 

 respondantes attribues ces deux variables. Si ces valeurs, tant finies, pro- 

 duisent une valeur finie de la fonction f {pc), alors, en prenant , x pour 

 valeurs initiales de x, t, et faisant varier x dans le voisinage de la valeur 

 initiale $, on verra, en vertu de l'quation (14), t varier avec x et f{x) 

 par degrs insensibles. Alors aussi, tant que le module de la diffrence x ', 

 ne dpassera pas une certaine limite suprieure, la valeur de t qui, se rdui- 

 sant t pour j:=|, aura la double proprit de varier avec x par degrs in- 

 sensibles et de vrifier l'quation (i4), sera une valeur unique qui pourra tre 



