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galement fournie par l'intgration rectiligne ou curviligne. Si , pour fixer les 

 ides, on pose | = o et g = a, en sorte que la valeur initiale de x soit pr- 

 cisment celle qui correspond au point O; si, d'ailleurs, on nomme x la va- 

 leur de a: correspondante celui des points isols G, C, C",. ,. qui est le 

 plus voisin du point O ; alors, en supposant x choisi de manire que le mo- 

 dule de x a reste infrieur celui de x a, on pourra dterminer la va- 

 leur de t qui doit se rduire zro pour x = a, non-seulement l'aide de la 

 formule (5) , que fournira une intgration curviligne , mais encore l'aide de 

 la formule 



(.5). t= f/(x)dx, 



i/o 



laquelle on arrive quand l'intgration devient rectiligne. Supposons main- 

 tenant qu'en oprant comme on vient de le dire, on passe non-seulement des 

 valeurs initiales |, t des valeurs trs-voisines, mais encore de celles-ci 

 d'autres qui en diffrent trs-peu, etc. En continuant de la sorte, et en don- 

 nant la plus grande extension possible aux rsultats ainsi produits par la va- 

 riation de x, on obtiendra une infinit de systmes de valeurs des variables 

 x, t, et la valeur de t en x sera dtermine par une formule ou par un sys- 

 tme de formules dont chacune fournira pour valeur de t une fonction con- 

 tinue de la variable x. Le systme de ces formules est ce que nous appelle- 

 rons Yintgrale complte de l'quation ( 1 4) ; une seule d'entre elles reprsente 

 ce que nous avons appel Yintgrale relative x, puisqu'en vertu de cette 

 dernire intgrale, t doit non-seulement varier avec x par degrs insensibles, 

 mais encore acqurir une valeur unique pour chaque valeur donne de x. 

 Au contraire, en vertu de l'intgrale complte, t sera gnralement une 

 fonction multiple de la variable x. Ajoutons que l'intgrale complte, cor- 

 respondante des valeurs initiales donnes de -r, t, ne sera point modifie 

 si Ion prend pour variable indpendante .r, au lieu de t, en considrant 

 1 quation (i4) comme propre dterminer non plus t en fonction de x, 

 mais x en fonction de t. 



La fonction j\x) tant donne, ii sera facile de trouver les diverses 

 valeurs de t qui, en vertu de l'intgrale complte, correspondront une 

 mme valeur de x. Concevons, pour fixer les ides, qu'en prenant o et a 

 pour valeurs initiales de t et de x, on veuille calculer les diverses valeurs 

 de t correspondantes la valeur a de x, c'est--dire au point O. Il suf- 

 fira, pour y parvenir, de ramener une ou plusieurs fois le point mobile P 

 sa position primitive O, aprs lui avoir fait dcrire chaque fois une courbe 



