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 ferme qui enveloppe un ou plusieurs des points isols C, C, C", . . ; et 

 comme, chacune des rvolutions du point P, la valeur de t se trouvera 

 augmente de la somme de plusieurs des termes 



I /' I" 



ou d'une telle somme prise en signe contraire, suivant que le point P aura 

 tourn dans un sens on dans un autre, autour de la courbe qu'il aura dcrite, 

 les diverses valeurs de t, correspondantes la valeur a de x, seront videm- 

 ment comprises dans la formule I 



(16) t = ml m'I' m"I" . . ., 



m, m', m",. . . tant des nombres entiers quelconques. Par suite aussi, une 

 valeur quelconque de x correspondront diverses valeurs de t que l'on ob- 

 tiendra en ajoutant l'une quelconque d'entre elles toutes celles que fournit 

 l'quation (16). 



Les constantes relles ou imaginaires, dsignes dans la formule (16) 

 par les lettres 7, /', I", . .., reprsentent ce qu'on appelle les indices de p- 

 riodicit de x considr comme fonction de t. Si , dans ces indices de prio- 

 dicit, les parties relles et les coefficients de \j i n'offrent pas des va- 

 leurs numriques dont les rapports soient entiers ou rationnels, alors dans t 

 considr comme fonction de x en vertu de l'intgrale complte de l'qua- 

 tion (i4), la partie relle ou le coefficient de \j i sera une quantit absolu- 

 ment indtermine. Mais on ne pourra plus en dire autant de l'intgrale re- 

 lative x qui offrira , pour chaque valeur donne de x, une valeur unique 

 et dtermine de t, ni de l'intgrale relative t, qui offrira, pour chaque 

 valeur donne de t, une valeur unique et dtermine de x. 



Il importe de voir dans quels cas l'intgrale complte de l'quation (i/J) 

 se rduit, soit l'intgrale relative t, soit l'intgrale relative x. Ce pro- 

 blme est facile rsoudre, d'aprs les principes que nous venons d'tablir. 

 Ainsi , en premier lieu , pour que l'intgrale complte ne diffre pas de l'int- 

 grale relative x, il sera ncessaire et il suffira qu' chaque valeur finie de x 

 corresponde gnralement, en vertu de l'intgrale complte, une seule va- 

 leur de t; par consquent, il sera ncessaire et il suffira que la valeur de t 

 fournie par l'quation (16) s'vanouisse, quelles que soient les valeurs attri- 

 bues aux nombres entiers m, m', m",. . .. C'est ce qui arrivera si chacune 

 des constantes 7, /', I", . . . s'vanouit, ou , en d'autres termes, si chacun des 

 rsidus partiels de la fonction j\x) se rduit zro. 



C. R., 1846, a m Semestre. (T. XXIll, N IB.) Q2 



