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En second lieu, pour que l'intgrale complte de l'quation (i4) ne dif- 

 fre pas de son intgrale relative t, il sera ncessaire et il suffira qu' 

 chaque valeur finie de t corresponde, en vertu de l'intgrale complte, 

 une seule valeur de x. Or c'est ce qui arrivera gnralement quand on se pla- 

 cera dans le voisinage d'une valeur de t qui produira une valeur finie de x et 



de jr\% si, comme nous l'avons suppos, la fonction /^.r) est du nombre de 



celles qui ne deviennent discontinues qu'en devenant infinies. D'ailleurs, 

 comme on peut le dmontrer, la valeur de x fournie par l'intgrale complte 

 sera discontinue dans le voisinage de toute valeur de t qui rendra x infinie , 



si le rapport v^ n'est pas une fonction continue de la variable x dans le 



voisinage de la valeur zro de cette mme variable. Donc , l'intgrale com- 

 plte ne diffrera pas de l'intgrale relative t, si des deux rapports 





1 



/(*)' 



/ 



G) 



le premier est une fonction toujours continue de x, et le second une fonc- 

 tion de x qui reste continue dans le voisinage de la valeur o attribue la 

 variable x. Ces conditions seront remplies, par exemple, si l'on pose 



j\x) = , , ou, plus gnralement, si l'on prend pour jr-. une fonction 



de x, linaire ou du second degr. 



Observons encore que, dans le cas o l'intgrale complte ne diffre 

 pas de l'intgrale relative t, la valeur de x fournie par cette intgrale est 

 ncessairement une fonction de t qui ne devient discontinue qu'en devenant 

 infinie. Cette circonstance permet ordinairement de transformer la fonction 

 dont il s'agit, l'aide des formules que donne le calcul des rsidus, et de la 

 dcomposer en fractions rationnelles, ou bien encore de la reprsenter par 

 une fraction dont chaque terme est le produit d'un nombre infini de 

 facteurs. 



Retournons maintenant la formule (2); mais supposons qu'au moment 

 o le point mobile P revient sa position primitive, la fonction k, place 

 sous le signe f, acquire une valeur nouvelle. Supposons d'ailleurs cette 

 fonction k toujours assujettie varier avec x par degrs insensibles. La va- 

 leur K de l'intgrale (S) ne sera plus indpendante de la position O primi- 

 tivement assigne au point mobile sur la courbe qu'il dcrit. Il y a plus : 



m 



