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 de x, y. Si l'on nomme 



les diverses valeurs de y tires de l'quation (19), les valeurs correspon- 

 dantes dey '(x), savoir, 



( 2 o) H*,y,), fjfojttji *(*/*)* 



seront ordinairement des fonctions qui prouveront des changements brusques, 

 pour des valeurs de x correspondantes non plus des points isols, mais tous 

 les points situs sur certaines portions de lignes droites ou courbes. Or cet 

 inconvnient sera vit si, au lieu de prendre pour/ ' (x) un terme de la 

 srie (20), on considre, dans l'quation (18), y comme une fonction de x 

 assujettie, i vrifier l'quation (19); a varier avec x par degrs insen- 

 sibles, et si d'ailleurs l'on suppose connues les valeurs initiales f, t] de x et 

 de y correspondantes la valeur initiale z de la variable t. Alors les seules 

 valeurs de x qui rendront la fonction k discontinue , seront celles qui la 

 rendront infinie. Alors aussi la considration de ces valeurs de x, et des 

 points isols qui leur correspondront, fera connatre la nature de la fonc- 

 tion de t qui devra reprsenter or, en vertu de l'intgrale complte de 

 l'quation (1 4), et permettra de transformer en intgrales dfinies recti- 

 lignes, par consquent en intgrales dfinies relatives x, les valeurs de K, 

 K t , K t/ ,... fournies par les quations (17). 



Ce que je viens de dire fournit , si je ne me trompe , la solution complte 

 des graves difficults que prsente la thorie des fonctions elliptiques, con- 

 sidre comme une branche du calcul infinitsimal , ou bien encore la thorie 

 des intgrales abliennes; et, en faisant disparatre ces difficults que 

 M. Eisenstein a trs-bien signales dans le tome XXVII du Journal de 

 M. Crelle (voir aussi le tome X du Journal de Mathmatiques, publi par 

 M. Liouville), les principes ci-dessus exposs rectifient des notions errones 

 jusqu'ici trop facilement admises par les gomtres. On voit que la fonction 

 d t,, improprement appele h Jonction inverse de l'intgrale (i5), est en 

 ralit la valeur de x fournie par l'intgrale complte de l'quation (i4); et 

 que l'on peut dduire de la formule (5) la nature et les proprits de cette 

 mme fonction, ses divers indices de priodicit si elle est priodique, etc. 

 On voit encore que si la fonction f (x) renferme des racines d'quations alg- 

 briques ou transcendantes, si l'on a, par exemple, j\x) = f [x, y), y tant 

 l'une des racines y\ , y 2 ,--- de l'quation (19), on devra soigneusement dis- 

 tinguer l'intgrale obtenue dans le cas o la racine y serait toujours la mme, 



