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 mme temps, une fonction entire des sinus et cosinus des angles polaires 

 />,</, par consquent une fonction entire de chacune des exponentielles 

 trigonomtriques qui ont pour arguments les angles +/>, p, + q, q. 

 D'autre part, on sait que les puissances entires et semblables des diverses 

 racines n iemes de l'unit donnent pour somme n ou zro, suivant que le degr 

 commun de ces puissances est ou n'est pas un multiple de n. Par suite , si 

 une puissance entire de l'exponentielle trigonomtrique, dont l'argument est 

 l'angle polaire p ou q, on ajoute les puissances semblables des exponentielles 

 trigonomtriques diverses , dont les arguments surpassent l'angle p ou q de 

 quantits gales des multiples de la n ieme partie de la circonfrence, la 

 somm obtenue sera prcisment le produit de la puissance donne par le 

 nombre n, quand cette puissance sera du n ime degr, ou d'un degr gal 

 un multiple de n; la mme somme sera nulle dans le cas contraire. Par suite 

 aussi, la moyenne arithmtique entre les diverses puissances dont il s'agit, 

 se rduira, dans le premier cas, la puissance donne; dans le second cas, 

 zro. En partant de ces principes, on tablira sans peine les thormes 

 que nous allons noncer. 



I er Thorme. Si, dans un plan, on prend pour origine des coor- 

 donnes le centre d'un polygone rgulier de n cts, et si l'on substitue les 

 coordonnes rectilignes d'un sommet de ce polygone dans une fonction 

 entire de ces coordonnes , d'un degr infrieur n , la moyenne arithm- 

 tique entre les valeurs de cette fonction correspondantes aux divers sommets 

 restera invariable, tandis qu'on fera tourner le polygone autour de son 

 centre, en laissant immobiles les axes coordonns. 



2 e Thorme. Si , dans l'espace, on prend pour origine des coordonnes 

 le centre d'un polydre rgulier, dans lequel n artes aboutissent chaque 

 sommet, et si l'on substitue les coordonnes rectilignes d'un sommet de ce 

 polydre dans une fonction entire de ces coordonnes, d'un degr inf- 

 rieur n, la moyenne arithmtique entre les valeurs de cette fonction cor- 

 respondantes aux divers sommets restera invariable, tandis que l'on fera 

 tourner d'une manire quelconque le polydre autour de son centre, en 

 laissant immobiles les axes coordonns. 



De ces deux thormes, le premier se dduit trs-aisment des principes 

 ci-dessus rappels. Pour dmontrer de la mme manire le second thorme , 

 dans le cas particulier o le polydre donn tourne autour du rayon vecteur 

 men du centre l'un des sommets, il suffit de faire concider avec ce rayon 

 vecteur l'axe polaire, c'est--dire le rayon fixe partir duquel se compte 

 langle polaire p. Ajoutons que l'on peut aisment passer de ce cas particulier 



