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 Au reste, il est ais de s'assurer que, si la Jonction entire laquelle 

 se rapporte le troisime thorme est du second degr par rapport aux 

 cosinus des angles que forme une droite avec trois axes fixes rectangulaires , 

 la moyenne entre les diverses valeurs de cette fonction deviendra effective- 

 ment indpendante du nombre des faces du polydre rgulier donn. Il y 

 a plus : pour tablir cette dernire proposition dans le cas gnral, il suffira , 

 d'aprs ce qui vient d'tre dit, de la dmontrer dans le cas spcial o la 

 fonction donne se rduit une fonction de cos p, entire et du second 

 degr , p tant l'angle que forme une droite mobile avec l'axe polaire 

 men du centre du polydre rgulier l'un des sommets; par consquent, 

 il suffira d'tablir la proposition dont il s'agit dans le cas particulier o la 

 fonction donne se rduit soit cos p , soit cos 2 p. Or, si l'on fait concider 

 successivement la droite mobile avec les divers rayons vecteurs mens du 

 centre du polydre rgulier aux divers sommets , l'axe polaire tant un de 

 ces rayons vecteurs, la moyenne entre les diverses valeurs de cos p sera 

 nulle, mme pour le ttradre, pour lequel la somme des valeurs de cos p 



sera 



et la moyenne arithmtique entre les diverses valeurs de cos 2 p se rduira 

 toujours la fraction ^; car la somme des valeurs de cos 2 p sera : 



pour le ttradre, i+ 3 l^\ = 3$ 



pour l'hexadre, 2 + 6(~) =5 



pour l'octadre, 2+4 () = 2 



pour le dodcadre, 2+ 6 (-) + 12(0) -$'> 



pour l'icosadre, 2+io(g)= 4; 



tandis que le nombre des sommets, dans les mmes polydres, concidera 

 successivement avec chacun des termes de la suite 



4, 8, 6, 20, 12. 

 Donc , en dfinitive, la proposition nonce subsiste; et par suite la moyenne 



