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analyse mathmatique. Thorie des dveloppantes du cercle et de 

 leurs rapports aux fonctions analytiques ; par M. Fedor Thoman. (Extrait 

 par l'auteur.) 



(Commissaires, MM. Sturm, Lam, Binet.) 



Le but de ce Mmoire est de donner une thorie des dveloppantes 

 successives du cercle ou des lignes transcendantes que l'on obtient par le 

 dveloppement d'un arc de cercle, ensuite par le dveloppement de cette 

 nouvelle courbe, et ainsi de suite; et de dduire de cet examen une thorie 

 gomtrique des principales fonctions analytiques. 



Par des dveloppements successifs d'un polygone inscrit au cercle, on 

 obtient le thorme suivant : 



Si une ligne brise a est fournie par k cordes de cercle , gales entre 

 elles ( = a) , chacune de ses dveloppantes rectilignes reprsente le terme 

 du binme de Newton correspondant, et l'ensemble de ces lignes, y com- 

 pris le rayon du cercle (= i), reprsente l'expression algbrique (i -+- a) k . 



A l'aide de ce thorme, on parvient dvelopper les fonctions expo- 

 nentielles en sries , et dterminer, pour les limites de e a , les expressions 



| ! _l- | j et ( i | ) , k tant le nombre des cordes. 



Dans le cas A: = <x> , la dveloppe rectiligne se confond avec l'arc de 

 cercle, et ses diffrentes dveloppantes sont reprsentes par les diffrents 

 termes de la srie infinie qui rsulte du dveloppement de e a ; en mme 

 temps on dtermine les rayons et cercles de courbure de ces courbes. 



- Dans le cas particulier o l'arc de cercle dvelopp est gal au rayon 

 = i, l'ensemble des dveloppantes est gale la valeur numrique e, base 

 des logarithmes naturels ; dans le second cas particulier, celui o l'arc dve- 

 lopp est un quadrant de cercle, on a pour somme des dveloppantes 



y 7 i , expression de forme imaginaire, mais susceptible del valeur relle 



= e= =4,5io47738. ... De l, on parvient d'une manire trs-simple 

 dvelopper les logarithmes en sries, dterminer gomtriquement les li- 

 mites du logarithme naturel de a par k \\f rj et k( i -^-\ et tablir 



une mthode gnrale qui consiste transformer le logarithme d'un nombre 

 quelconque donn en un ou plusieurs multiples de sries trs-convergentes 



